初等多值函数 1.根式函数 定义2.9 设)0(eirz,规定根式函数 为幂函数的反函数。 (1)根式函数为多值函数,它不是解析函数. 对于每一个确定的)0(eirz,都有n 个不同的w 与之对应,即有 nn rwi0e nn rwπ2i1e nnnnrwπ)1(2i1e 因为根式函数是多值函数,所以,它不是解析函数. (2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数. 设函数 )(zFw 为多值函数,若当变点 z从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时,函数)(zF从一个支变到另一个支,则称点a 为函数)(zF的支点. (3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数. 根式函数 它是一个多值函数,出现多值性的原因是由于 确定后,其幅角并不唯一确定(可以相差的整数倍)。为分出单值解析分支,在平面上从原点到引一条射线,将平面割破,割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点,并指定的一个幅角值,则在内任意的点,皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。 假定从原点其割破负实轴,是内过的一条简单闭曲线,即不穿过负实轴,它的内部不包含原点,则当变点从其绕一周时,的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。 因此,在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数 , , 利用极坐标形式的柯西-黎曼条件,可以证明,这个分支函数在区域内是解析的,且有 , , 在上面分出 的单值解析分支过程中,有一个重要的基本概念:支点。比如原点。在此点的充分小邻域内,作一个包围此点的圆周,当变点从上一点出发,绕连续变动一周而回到其出发点时,从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点,同理也是的一个支点。 用来割破平面,借以分出的单值解析分支的割线,称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支,其中有一支在正实轴上取正实值的,称为的主值支。即 下面以为例,来阐明有关多值函数的基本概念. (i). 是多值函数 由 得 ,令 ,则有 由此可得 w 的模与 z 的模一一对应,而对应着每个;有三个不同的值(主值幅角) 故 所以: 是多值函数 (ii).单值分支 对于同一 z 值的三个 w 值的模相同,而幅角成公差为的一个等差级数. 如 果 在 w 平 面 上 作 一 个 以原 点 为 顶 点 , 张 角 为的 角 形 区 域,而规定 w 在区域 I 上取...