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初等多值函数

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初等多值函数 1.根式函数 定义2.9 设)0(eirz,规定根式函数 为幂函数的反函数。 (1)根式函数为多值函数,它不是解析函数. 对于每一个确定的)0(eirz,都有n 个不同的w 与之对应,即有 nn rwi0e nn rwπ2i1e  nnnnrwπ)1(2i1e  因为根式函数是多值函数,所以,它不是解析函数. (2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数. 设函数 )(zFw 为多值函数,若当变点 z从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时,函数)(zF从一个支变到另一个支,则称点a 为函数)(zF的支点. (3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数. 根式函数 它是一个多值函数,出现多值性的原因是由于 确定后,其幅角并不唯一确定(可以相差的整数倍)。为分出单值解析分支,在平面上从原点到引一条射线,将平面割破,割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点,并指定的一个幅角值,则在内任意的点,皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。 假定从原点其割破负实轴,是内过的一条简单闭曲线,即不穿过负实轴,它的内部不包含原点,则当变点从其绕一周时,的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。 因此,在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数 , , 利用极坐标形式的柯西-黎曼条件,可以证明,这个分支函数在区域内是解析的,且有 , , 在上面分出 的单值解析分支过程中,有一个重要的基本概念:支点。比如原点。在此点的充分小邻域内,作一个包围此点的圆周,当变点从上一点出发,绕连续变动一周而回到其出发点时,从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点,同理也是的一个支点。 用来割破平面,借以分出的单值解析分支的割线,称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支,其中有一支在正实轴上取正实值的,称为的主值支。即 下面以为例,来阐明有关多值函数的基本概念. (i). 是多值函数 由 得 ,令 ,则有 由此可得 w 的模与 z 的模一一对应,而对应着每个;有三个不同的值(主值幅角) 故 所以: 是多值函数 (ii).单值分支 对于同一 z 值的三个 w 值的模相同,而幅角成公差为的一个等差级数. 如 果 在 w 平 面 上 作 一 个 以原 点 为 顶 点 , 张 角 为的 角 形 区 域,而规定 w 在区域 I 上取...

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