初等多值函数

初等多值函数 1.根式函数 定义2.9 设)0(eirz，规定根式函数 为幂函数的反函数。 (1)根式函数为多值函数，它不是解析函数． 对于每一个确定的)0(eirz，都有n 个不同的w 与之对应，即有 nn rwi0e nn rwπ2i1e  nnnnrwπ)1(2i1e  因为根式函数是多值函数，所以，它不是解析函数． (2)根式函数在从原点起沿正实轴剪开的复平面上可分出n 个单值函数． 设函数 )(zFw 为多值函数，若当变点 z从起始点0z 出发绕一条包围点a 的简单闭曲线连续变动一周再回到起始点0z 时，函数)(zF从一个支变到另一个支，则称点a 为函数)(zF的支点． (3)根式函数n zw 的每个单值支在从原点起始沿正实轴剪开的复平面上为解析函数． 根式函数 它是一个多值函数，出现多值性的原因是由于 确定后，其幅角并不唯一确定（可以相差的整数倍）。为分出单值解析分支，在平面上从原点到引一条射线，将平面割破，割破了的平面构成一个以此割线为边界的区域。在内随意指定一点，并指定的一个幅角值，则在内任意的点，皆可根据的幅角依连续变化而唯一确定的幅角。 假定从原点其割破负实轴，是内过的一条简单闭曲线，即不穿过负实轴，它的内部不包含原点，则当变点从其绕一周时，的象点各画出一条闭曲线而各回到它原来的位置。 因此，在区域内可得到的个不同的单值连续分支函数 ， ， 利用极坐标形式的柯西－黎曼条件，可以证明，这个分支函数在区域内是解析的，且有 ， ， 在上面分出 的单值解析分支过程中，有一个重要的基本概念：支点。比如原点。在此点的充分小邻域内，作一个包围此点的圆周，当变点从上一点出发，绕连续变动一周而回到其出发点时，从其一支变到另一支。具有这样性质点称它为的支点，同理也是的一个支点。 用来割破平面，借以分出的单值解析分支的割线，称之为支割线。取负实轴为支割线而得出的个不同的分支，其中有一支在正实轴上取正实值的，称为的主值支。即 下面以为例，来阐明有关多值函数的基本概念. (i). 是多值函数 由 得 ，令 ，则有 由此可得 w 的模与 z 的模一一对应，而对应着每个；有三个不同的值(主值幅角) 故 所以： 是多值函数 (ii).单值分支 对于同一 z 值的三个 w 值的模相同，而幅角成公差为的一个等差级数. 如 果 在 w 平 面 上 作 一 个 以原 点 为 顶 点 ， 张 角 为的 角 形 区 域，而规定 w 在区域 I 上取...