动点到两定点的距离最值

浅 析 动 点 到 两个定点 的距离之和（差）的最值 一、直线上的动点到直线外两个定点的距离之和（差）的最值． 例1 （1）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x轴上任意一点，则PA+PB 的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ； （2）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x轴上任意一点，则PB-PA 的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ． 解析：（1）如图1，当点P 在x轴上运动时，PA+PBAB(当且仅当A，P，B 三点共线时等号成立) (PA+PB)min =AB= 此时，点P 的坐标为 （2）如图2，当点P 在x轴上运动时，PB- PA AB(当且仅当A，P，B 三点共线时等号成立) (PB-PA)max =AB= 此时，点P 的坐标为 变题：（1）已知点A(1，1)，点B(3，2)，P 是x轴上任意一点，则PA+PB 的最小值为 ，此时点P 的坐标为 ； 解析：（1）如图3，作点B 关于x轴的对称点Bˊ（3，-2），则有 PB=PBˊ 当点P 在x轴上运动时，PA+PB=PA+PBˊ=ABˊ(当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立)(PA+PB)min =AB= 此时，点P 的坐标为 （2）已知点A(1，1)，点B(3，-2)，P 是x轴上任意一点，则PB-PA 的最大值为 ，此时点P 的坐标为 ． 解析：（2）如图4，作点B 关于x轴的对称点Bˊ，则有 PB=PBˊ 当点P 在x轴上运动时，PB- PA= PBˊ-PA ﹦ABˊ (当且仅当A，P，Bˊ三点共线时等号成立) (PB-PA)max =ABˊ= 此时，点P 的坐标为 归纳：①当两定点位于直线的异侧时可求得动点到两定点的距离之和的最小值； ②当两定点位于直线的同侧时可求得动点到两定点的距离之和的绝对值的最大值． 若不满足①②时，可利用对称性将两定点变换到直线的同（异）侧，再进行求解．如变题的方法． 例 2 函数的值域为 ． 解析：将函数进行化简得： 即为动点P（x，0）到两定点A(1，1)、B（3，-2）的距离之和．由例 1 可知： 该值域为 二、圆锥曲线上的动点到两个定点的距离之和（差）的最值． （一）直接求解或利用椭圆（或双曲线）的定义进行适当转化后求解． 例 3 （1）已知 A(4，0)和 B(2，2)，M 是椭圆上的动点，则 MA-MB 的范围是 ； 解析：(1)如图 5，在MAB 中有 MA-MBMA 即点M 位于 M2 处时，有 MA-MB=AB，所以 MA-MBAB；同理在MAB 中有 MB-MAAB，即MB-MA-AB(当点M 位于 M1 处时等号成立) 综上所述：-AB≦MA-MB≦AB （2）已知A(4，0)和B(2，2)，M 是椭圆上的动点，则MA...