2 .如图7 ，梯形中，，， ,， ，点为线段上一动点（不与点 重合），关于的轴对称图形为 ，连接，设 ， 的面积为，的面积为． （1 ）当点落在梯形 的中位线上时，求的值；(全等) （2 ）试用表示，并写出的取值范围；（相似） （3 ）当 的外接圆与相切时，求的值．（垂径定理+中线+等面积+相似） 【答案】解：（1 ）如图1 ，为梯形 的中位线，则，过点作于点，则有： 在中，有 在中， 又 解得： （2 ）如图2 ，交于点，与关于对称， 则有：， 又 又与关于对称， （3 ）如图3 ，当的外接圆与相切时，则为切点. 的圆心落在的中点，设为 则有，过点作， 连接，得 则 又 解得：（舍去） ① ② ③ 3.已知在平面直角坐标系x Oy 中，O 是坐标原点，以P（1，1）为圆心的⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N，点F 从点M 出发，沿x 轴正方向以每秒1 个单位长度的速度运动，连接PF，过点PE⊥PF 交y 轴于点E，设点F 运动的时间是t 秒（t＞0） （1）若点E 在y 轴的负半轴上（如图所示），求证：PE=PF；（全等） （2）在点F 运动过程中，设OE=a，OF=b，试用含a 的代数式表示b；（全等+分类讨论） （3）作点F 关于点M 的对称点F′，经过M、E 和F′三点的抛物线的对称轴交x 轴于点Q，连接QE．在点F 运动过程中，是否存在某一时刻，使得以点Q、O、E 为顶点的三角形与以点P、M、F 为顶点的三角形相似？若存在，请直接写出t 的值；若不存在，请说明理由．（讨论对称轴+全等+相似） 【分析】：（1）连接PM，PN，运用△PMF≌△PNE 证明， （2）分两种情况①当t＞1 时，点E 在y 轴的负半轴上，0＜t≤1 时，点E 在y 轴的正半轴或原点上，再根据（1）求解， （3）分两种情况，当1＜t＜2 时，当t＞2 时，三角形相似时还各有两种情况，根据比例式求出时间t． 【解答】： 证明：（1）如图，连接PM，PN， ⊙P 与x 轴，y 轴分别相切于点M 和点N， ∴PM⊥MF，PN⊥ON 且PM=PN， ∴∠PMF=∠PNE=90°且∠NPM=90°， PE⊥PF， ∠NPE=∠MPF=90°﹣∠MPE， 在△PMF 和△PNE 中，，∴△PMF≌△PNE（ASA）， ∴PE=PF， （2）解：①当t＞1 时，点E 在y 轴的负半轴上，如图， 由（1）得△PMF≌△PNE，∴NE=MF=t，PM=PN=1， ∴b=OF=OM+MF=1+t，a=NE﹣ON=t﹣1， ∴b﹣a=1+t﹣（t﹣1）=2，∴b=2+a， ②0＜t≤1 时，如图2，点E 在y 轴的正半轴或原点上， 同理可证△PMF≌△...
