勒 贝 格 积 分 的 若 干 简 介 我 们 先 学 习 了 Riemann 积 分 （ 简 称 R 积 分 ）， 从 而 慢 慢 引 入 到 了 勒 贝 格 积 分 ，因 此 我 将 在 下 文 中 分 几 部 分 来 讲 勒 贝 格 积 分 。 首 先 介 绍 一 下 在 有 界 函 数 范 围 内 ， R 积 分 还 是 存 在 这 很 大 的 缺 陷 ， 主 要 表 现在 以 下 两 个 方 面[1]： ⑴ R 积 分 与 极 限 可 交 换 的 条 件 太 严 。 ⑵ 积 分 运 算 不 完 全 是 微 分 运 算 的 逆 运 算 。 ⑶ 不 适 宜 于 无 界 区 间 ： 黎 曼 积 分 只 能 用 来 在 有 界 区 间 内 对 函 数 进 行 积 分 。 ⑷ 缺 乏 单 调 收 敛 。 鉴 于 R 积 分 的 上 述 缺 陷 ， 人 们 致 力 于 对 此 进 行 改 进 。 1902 年 ， 法 国 数 学 家勒 贝 格 基 于 可 列 可 加 的 测 度 ， 成 功 引 进 了 一 种 新 的 积 分 ， 即 Lebesgue 积 分 （ 简称 L 积 分 ）。 那 么， 建立L 积 分 的 基 本思路和步骤是 怎么样的 呢？L 积 分 的 思路也基 本与 R 积 分 一 样先 分 割， 作积 分 和， 取取极 限 。 在 重新 审视R 积 分 和曲边梯形面 积 的 关系时，另一 个 建立L 积 分 的 思路浮现出来 。 首 先 ， 为了 避免可 测 函 数 不 是 有 界 函 数 ， 最后的 积 分 值可 能 会出现 的不 定情形的 出现 ， 在 定义L 积 分 时第一 步仅限 于 非负函 数 。 其次， 注意到 非负函数 围 成 的 曲边梯形的 面 积 ， 对 于 L 积 分 ， 可 以 将 “可 测 集分 割”加 以 取代， 形成所谓“简 单 函 数 ”， 从 而 过度 到 L 积 分 “横着数 ”的 思想。 下 文 将 详细的 介 绍 L 积 分 和R 积 分 的 区 别和联系。 关于 Lebesgue 积 分 与 Riemann 积 分 的 定义比较 1.1 勒 贝 格 积 分 的 定义[3]: 定义1：设)(xf是nRE mE上 的 非负可 测 函 数.我 们 定义)(xf是 E 上的Lebesgue积 分( )( )( )su p( ): ( )x Eh xf xEEf x dxh x dx h x...
