勾股定理奥数基础汇总

1 勾股定理 一、内容提要 1. 勾股定理及逆定理：△ABC 中 ∠C＝Rt∠ a2＋b2=c2 2. 勾股定理及逆定理的应用 ① 作已知线段a 的2 ，3 ， 5 ……倍 ② 计算图形的长度，面积，并用计算方法解几何题 ③ 证明线段的平方关系等。 3. 勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c 满足等式a2＋b2=c2，那么这三个正整数a,b,c 叫做一组勾股数. 4. 勾股数的推算公式 ① 罗士琳法则（罗士琳是我国清代的数学家1789――1853） 任取两个正整数m 和 n(m>n),那么m2-n2，2mn, m2+n2 是一组勾股数。 ② 如果k 是大于 1 的奇数，那么k, 212 k,212 k是一组勾股数。 ③ 如果k 是大于 2 的偶数，那么k, 122 K,122 K是一组勾股数。 ④ 如果a,b,c 是勾股数，那么na, nb, nc (n 是正整数)也是勾股数。 5. 熟悉勾股数可提高计算速度，顺利地判定直角三角形。简单的勾股数有：3，4，5； 5，12，13； 7，24，25； 8，15，17； 9，40，41。 1.常用勾股数口诀记忆 常见勾股数 3，4，5 ： 勾三股四弦五 5，12，13 ： 5·12 记一生 6，8，10： 连续的偶数 7，24，25 ： 企鹅是二百五 8，15，17 ： 八月十五在一起 特殊勾股数 连续的勾股数只有 3，4，5 连续的偶数勾股数只有 6，8，10 2.100 以内的勾股数 开头数字为 2 0 以内 6. 3 4 5；5 12 13； 6 8 10；7 24 25；8 15 17；9 12 15；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82 二、例题 例 1.已知线段a a 5 a 2a 3a 5 a 求作线段5 a a 分析一：5 a＝25a＝224aa  2a 2 ∴5 a 是以2a 和a 为两条直角边的直角三角形的斜边。 分析二：5 a＝2492aa  ∴5 a 是以3a 为斜边，以2a 为直角边的直角三角形的另一条直角边。 作图（略） 例2.四边形ABCD 中∠DAB＝60  ，∠B＝∠D＝Rt∠，BC＝1，CD＝2 求对角线AC 的长 例3.已知△ABC 中，AB＝AC，∠B＝2∠A 求证：AB2－BC2＝AB×BC 例4.如图已知△ABC 中，AD⊥BC，AB＋CD＝AC＋BD 求证：AB＝AC 例5.已知梯形ABCD 中，AB∥CD，AD＞BC 求证：AC＞BD 证明：作DE∥AC，DF∥BC，交 BA 或延长线于点 E、F ACDE 和BCDF 都是平行四边形 ∴DE＝AC，DF＝BC，AE＝CD＝BF 作DH⊥...