因式分解竞赛

一 换元法（把多项式中较为复杂的式子用新的字母代替，从而分解因式的方法。） 1 (2x^2-3x+1)^2-22x^2+33x-1 令y=2x^2-3x，则原式=(y+1)^2-11y-1=y(y-9) 把2x^2-3x 代入，再分解得 x(2x-3)(x-3)(2x+3) 二 配方法（为了分解因式而设法构成平方式，然后根据需要进行变形，叫做配方法。） 1 4x^4+1=4x^4+4x^2+1-4x^2=(2x^2+1)^2-(2x)^2=(2x^2+2x+1)(2x^2-2x+1) 三 待定系数法（先设出式子中的未知数，根据条件求出未知数的系数，从而写出这个式子的方法。） 1 x^2-xy-2y^2+4x+y+3 (x-2y+m)(x+y+n)=x^2-xy-2y^2+(m+n)x+(m-2n)y+mn， m+n=4,m-2n=1,mn=3 m=3,n=1 x^2-xy-2y^2+4x+y+3=(x-2y+3)(x+y+1) 四 分散的题： 1 已知 x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+14=0，求(x-y-z)^2 的值。 x^2+y^2+z^2-2x+4y-6z+14=0 x^2-2x+1+y^2+4y+4+z^2-6z+9=0 (x-1)^2+(y+2)^2+(z-3)^2=0 x=1,y=-2,z=3 (x-y-z)^2=(1+2-3)^2=0 - 因式分解 因式分解是中学数学中最重要的恒等变形之一，具有一定的灵活性和技巧性，下面我们在初中教材已经介绍过基本方法的基础上，结合竞赛再补充介绍添项、拆项法，待定系数法、换元法、对称式的分解等有关内容和方法. 1.添项.拆项法 添项、拆项的目的是在各项间制造公因式或便于利用公式分解因式，解题时要注意观察分析题目的特点. 例 1 （1986 年扬州初一数学竞赛题）分解因式 （1+y）2-2x2(1+y2)+x4(1-y)2 解：原式=(1+y)2+2(1+y)x2(1+y)+x4(1-y)2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-2(1+y)x2(1-y)-2x2(1+y2) =[(1+y)+x2(1-y)]2-(2x)2 =[(1+y)+x2(1-y)+2x]·[(1+y)+x2(1-y)-2x] =(x2-x2y+2x+y+1)(x2-x2y-2x+y+1) =[(x+1)2-y(x2-1)][(x-1)2-y(x2-1)] =(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y) 例 2（第 11 届国际数学竞赛题）证明：具有如下性质的自然数a 有无穷多个，对于任意的自然数m.z=n4+a 都不是素数. 证明 设a=4k4（k 为大于 1 的自然数），则 z=n4+a =n4+4k4 =n4+4n2k2+4k4-4n2k2 =(n2+2k2)2-4n2k2 =(n2+2k2+2nk)(n2+2k2-2nk) =[(n+k)2+k2][(n-k)2+k2]. ① k 为大于1 的自然数， ∴(n+k)2+k2＞1, (n-k)2+k2＞1 故①的右边两个因子都大于1，故当 k＞1 时，z 是合数. 由于大于1 的自然数k 有无穷多个，故有无穷多个自然数a，使 n4+a 对一切自然数n 总非素数 2.待定系数法 若两多项式 f(x)=g(x)，则它们同次的对应项系数一定相等，利用这条结论可将某些...