多元函数的极值及其求法

第十一讲 二元函数的极值 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，来讨论多元函数的极值问题． 一．二元函数的极值 定义 设函数),(yxfz 在点),(00 yx的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有),(),(00 yxyx，如果总有),(),(00 yxfyxf，则称函数),(yxfz 在点),(00 yx处有极大值；如果总有),(),(00 yxfyxf，则称函数),(yxfz 在点),(00 yx有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例 1 ．函数xyz 在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例 2 ．函数2243yxz在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(yx有0)0,0(),( fyxf． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0z，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1 （必要条件） 设函数),(yxfz 在点),(00 yx具有偏导数，且在点),(00 yx处有极值，则它在该点的偏导数必然为零，即0),(00yxfx，0),(00yxfy． 几何解释 若函数),(yxfz 在点),(00 yx取得极值0z ，那么函数所表示的曲面在点),,(000zyx处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 是平行于 xoy 坐标面的平面0zz ． 类似地有三元及三元以上函数的极值概念，对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000zyxfx，0),,(000zyxfy，0),,(000zyxfz 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题，但它明确指出找极值点的途径，即只要解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx ，求得解),(),(),,(2211nn yxyxyx，那么极值点必包含在其中，这些点称为函数),(yxfz 的驻点． 注意1 ．驻点不一定是极值点，如xyz 在)0,0(点． 怎样判别驻点是否是极值点呢？下面定理回答了这个问题． 定理2 （充分条件） 设函数),(yxfz 在点 ),(00 yx的某邻域内连续，且有一阶及二阶连续偏导数，又 0),(00yxfx，0),(00yxfy， 令 Ayxfxx),(00，Byxfxy),(00，Cyxfyy),(00，则 （1）当02  BAC时，函数),(yxfz 在点 ),(00 yx...