电脑桌面
添加小米粒文库到电脑桌面
安装后可以在桌面快捷访问

多元函数的极值及其求法

多元函数的极值及其求法_第1页
1/8
多元函数的极值及其求法_第2页
2/8
多元函数的极值及其求法_第3页
3/8
第十一讲 二元函数的极值 要求:理解多元函数极值的概念,会用充分条件判定二元函数的极值,会用拉格朗日乘数法求条件极值。 问题提出:在实际问题中,往往会遇到多元函数的最大值,最小值问题,与一元函数相类似,多元函数的最大值,最小值与极大值,极小值有密切的关系,因此以二元函数为例,来讨论多元函数的极值问题. 一.二元函数的极值 定义 设函数),(yxfz 在点),(00 yx的某个邻域内有定义,对于该邻域内的所有),(),(00 yxyx,如果总有),(),(00 yxfyxf,则称函数),(yxfz 在点),(00 yx处有极大值;如果总有),(),(00 yxfyxf,则称函数),(yxfz 在点),(00 yx有极小值. 函数的极大值,极小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点. 例 1 .函数xyz 在点)0,0(处不取得极值,因为在点)0,0(处的函数值为零,而在点)0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点. 例 2 .函数2243yxz在点)0,0(处有极小值. 因为对任何),(yx有0)0,0(),( fyxf. 从几何上看,点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243yxz的顶点,曲面在点)0,0,0(处有切平面0z,从而得到函数取得极值的必要条件. 定理1 (必要条件) 设函数),(yxfz 在点),(00 yx具有偏导数,且在点),(00 yx处有极值,则它在该点的偏导数必然为零,即0),(00yxfx,0),(00yxfy. 几何解释 若函数),(yxfz 在点),(00 yx取得极值0z ,那么函数所表示的曲面在点),,(000zyx处的切平面方程为 ))(,())(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx 是平行于 xoy 坐标面的平面0zz . 类似地有三元及三元以上函数的极值概念,对三元函数也有取得极值的必要条件为 0),,(000zyxfx,0),,(000zyxfy,0),,(000zyxfz 说明 上面的定理虽然没有完全解决求极值的问题,但它明确指出找极值点的途径,即只要解方程组0),(0),(0000yxfyxfyx ,求得解),(),(),,(2211nn yxyxyx,那么极值点必包含在其中,这些点称为函数),(yxfz 的驻点. 注意1 .驻点不一定是极值点,如xyz 在)0,0(点. 怎样判别驻点是否是极值点呢?下面定理回答了这个问题. 定理2 (充分条件) 设函数),(yxfz 在点 ),(00 yx的某邻域内连续,且有一阶及二阶连续偏导数,又 0),(00yxfx,0),(00yxfy, 令 Ayxfxx),(00,Byxfxy),(00,Cyxfyy),(00,则 (1)当02  BAC时,函数),(yxfz 在点 ),(00 yx...

1、当您付费下载文档后,您只拥有了使用权限,并不意味着购买了版权,文档只能用于自身使用,不得用于其他商业用途(如 [转卖]进行直接盈利或[编辑后售卖]进行间接盈利)。
2、本站所有内容均由合作方或网友上传,本站不对文档的完整性、权威性及其观点立场正确性做任何保证或承诺!文档内容仅供研究参考,付费前请自行鉴别。
3、如文档内容存在违规,或者侵犯商业秘密、侵犯著作权等,请点击“违规举报”。

碎片内容

多元函数的极值及其求法

确认删除?
VIP
微信客服
  • 扫码咨询
会员Q群
  • 会员专属群点击这里加入QQ群
客服邮箱
回到顶部