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偏 微 分 方 程 理 论 学 习 一 ． 偏 微 分 方 程 发 展 简 介 1. 常微分方程 十七世纪微积分创立之后，常微分方程理论立刻就发展起来，当时应用常微分方程，解决几何与理学中的新问题。结果是在天体理学中不仅能得到并解释早先已经知晓的那些事实，而且得到了性的发现（例如，海王星的发现就是在对微分方程分析的基础上作出的）。 2. 偏微分方程 偏微分方程的研究要晚得多，对物理学中出现的偏微分方程研究在十八世纪中叶导致了分析学的一个新的分支------数学物理方程的建立。 J.达朗贝尔（D’Alembert）（1717-1783）、L.欧拉（Euler）（1707-1783）、D.伯努利(Bernoulli)（1700-1782）、J.拉格朗日(Lagrange)（1736-1813）、P.拉普拉斯(Laplace)（1749-1827）、S.泊松(Poisson)（1781-1840）、J.傅里叶(Fourier)（1768-1830）等人的工作为这一学科分支奠定了基础。它们在考察具体的数学物理问题中，所提出的思想与方法，竟适用于众多类型的微分方程，成为十九世纪末偏微分方程一般理论发展的基础。 十九世纪，偏微分方程发展的序幕是由法国数学家傅里叶拉开的，他于1822年发表的《热的解析理论》是数学史上的经典文献之一。傅里叶研究的主要是吸热或 放 热物体内 部 任 何点 处 的温 度 随 空 间 和 时间 的变 化 规 律 。在对物体的物理性状 作出一定的限 制 （如均 匀 、各 向 同 性）后，他根 据 物理原 理推 导出了三 维 空 间的热传 导方程 xkzyxTTTT2222222， 其 中k 是一个参 数，其 值 依 赖 于物体的质 料 。傅里叶当时解决的是如下 特 殊 的热传 导问题： 设 所考虑 的物体为两 端 保 持 在温 度0 度 、表面 绝 热且无 热流 通 过 的柱轴 。在此 情 形 下 求 解上述 热传 导方程，因 为柱 轴 只 涉 及 一维 空 间 ，所以 这个问题也 就是求 解偏微分方程 ,0),()0,(,0,0),(,0),0(TT222lxxfxTttlTtTxkx， 其 中后面 两 项 分别 是边 界 条 件 和 初 始 条 件 。傅里叶为解这个方程用了分离 变 量 法，他得到满 足 方程和 边 界 条 件 的级 数解为 1)/(.sin),(T2222ntlknnlxnebtx 为了满 足 初 始 条 件 ，必 须 有 1.sin)(nnlxnbxf 这就促使傅里叶不得不考虑任给一个函数，能否将它表...