1 如何求异面直线的距离 求异面直线距离方法: (1)(直接法)当公垂线段直接能作出时,直接求。此时,作出并证明异面直线的公垂线段,是求异面直线距离的关键。 (2)(转化法)把线线距离转化为线面距离,如求异面直线a,b 距离,先作出过a 且平行于b 的平面α, 则b 与α 距离就是a,b 距离。(线面转化法) 也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 且平行于a 的平面,两平行平面的距离就是两条异面直线距离。 (3)(体积桥法)利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。 (4)(构造函数法)常常利用距离最短原理构造二次函数,利用求二次函数最值来解。 两条异面直线间距离问题,教学大纲中要求不高(要求会计算已给出公垂线时的距离),这方面的问题的其它解法,要适度接触,以开阔思路。 典型题目分析 正方体ABCD-A1B1C1D1 棱长为a,求异面直线AC 与BC1 的距离。 解法1 :(直接法)取BC 的中点P,连结PD,PB1 分别交AC,BC1 于M,N 点, 易证:DB1//MN,DB1⊥AC, DB1⊥BC1, ∴ MN 为异面直线AC 与BC1 的公垂线段,易证:MN=B1D=a。(如图 1 所示) 小结:此法也称定义法,这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。 解法2 :(转化法) AC//平面A1C1B,∴ AC 与BC1 的距离等于AC 与平面A1C1B 的距离, 在 RtΔOBO1 中,作斜边上的高OE,则OE 长为所求距离,如图 2, OB=a, OO1=a,∴ O1B=, ∴OE=a。 小结:这种解法是将线线距离转化为线面距离。 2 解法3:(转化法) 平面ACD1//平面A1C1B,∴ AC 与BC1 的距离等于平面ACD1 与平面A1C1B 的距离,(如图3 所示), DB1⊥平面ACD1,且被平面ACD1 和平面A1C1B 三等分;∴ 所求距离为B1D=a。 小结:这种解法是将线线距离转化为面面距离。 解法4:(构造函数法) 任取点Q∈BC1,作 QR⊥BC 于R 点,作 RK⊥AC 于K 点,如图4 所示, 设 RC=x,则 OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2, 故 QK 的最小值,即 AC 与BC1 的距离等于a。 小结:这种解法是恰当的选择未知量,构造一个目标函数,通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。 解法5:(体积桥法) 当求AC 与BC1 的距离转化为求AC 与平面A1C1B 的距离后,设 C 点到平面A1C1B 的距离为h,则(如图5) h·(a)2=·a·a2, ∴ h=a,即 AC 与BC1 的距离为a。 小结:本解法是将线线距离转化为线面距离,再将线面距离转...