如何求异面直线的距离

1 如何求异面直线的距离 求异面直线距离方法： （1）（直接法）当公垂线段直接能作出时，直接求。此时，作出并证明异面直线的公垂线段，是求异面直线距离的关键。 （2）（转化法）把线线距离转化为线面距离，如求异面直线a,b 距离，先作出过a 且平行于b 的平面α, 则b 与α 距离就是a,b 距离。（线面转化法） 也可以转化为过a 平行b 的平面和过b 且平行于a 的平面，两平行平面的距离就是两条异面直线距离。 （3）（体积桥法）利用线面距再转化为锥体的高用体积公式来求。 （4）（构造函数法）常常利用距离最短原理构造二次函数，利用求二次函数最值来解。 两条异面直线间距离问题，教学大纲中要求不高（要求会计算已给出公垂线时的距离），这方面的问题的其它解法，要适度接触，以开阔思路。 典型题目分析 正方体ABCD-A1B1C1D1 棱长为a，求异面直线AC 与BC1 的距离。 解法1 ：（直接法）取BC 的中点P，连结PD，PB1 分别交AC，BC1 于M，N 点， 易证：DB1//MN，DB1⊥AC， DB1⊥BC1， ∴ MN 为异面直线AC 与BC1 的公垂线段，易证：MN=B1D=a。（如图 1 所示） 小结：此法也称定义法，这种解法是作出异面直线的公垂线段来解。 解法2 ：（转化法） AC//平面A1C1B，∴ AC 与BC1 的距离等于AC 与平面A1C1B 的距离， 在 RtΔOBO1 中，作斜边上的高OE，则OE 长为所求距离，如图 2， OB=a, OO1=a，∴ O1B=， ∴OE=a。 小结：这种解法是将线线距离转化为线面距离。 2 解法3：（转化法） 平面ACD1//平面A1C1B，∴ AC 与BC1 的距离等于平面ACD1 与平面A1C1B 的距离，（如图3 所示）， DB1⊥平面ACD1，且被平面ACD1 和平面A1C1B 三等分；∴ 所求距离为B1D=a。 小结：这种解法是将线线距离转化为面面距离。 解法4：（构造函数法） 任取点Q∈BC1，作 QR⊥BC 于R 点，作 RK⊥AC 于K 点，如图4 所示， 设 RC=x，则 OK2=x2+(a-x)2=(x-a)2+a2≥a2, 故 QK 的最小值，即 AC 与BC1 的距离等于a。 小结：这种解法是恰当的选择未知量，构造一个目标函数，通过求这个函数的最小值来得到二异面直线之间的距离。 解法5：（体积桥法） 当求AC 与BC1 的距离转化为求AC 与平面A1C1B 的距离后，设 C 点到平面A1C1B 的距离为h，则（如图5） h·(a)2=·a·a2, ∴ h=a，即 AC 与BC1 的距离为a。 小结：本解法是将线线距离转化为线面距离，再将线面距离转...