直线、平面平行与垂直的综合问题VIP专享

第六节直线、平面平行与垂直的综合问题考点一立体几何中的探索性问题[典例 ](2018 ·全国卷 Ⅲ)如图，矩形 ABCD 所在平面与半圆弧?CD 所在平面垂直， M 是?CD 上异于 C，D 的点．(1)证明：平面AMD ⊥平面 BMC . (2)在线段 AM 上是否存在点P，使得 MC∥平面 PBD？说明理由．[解](1)证明：由题设知，平面CMD⊥平面 ABCD ，交线为CD.因为 BC⊥CD ，BC?平面 ABCD ，所以 BC⊥平面 CMD ，所以 BC⊥DM . 因为 M 为 ?CD 上异于 C，D 的点，且 DC 为直径，所以 DM ⊥CM . 又 BC∩ CM＝ C，所以 DM ⊥平面 BMC . 因为 DM ? 平面 AMD ，所以平面AMD ⊥平面 BMC . (2)当 P 为 AM 的中点时， MC ∥平面 PBD. 证明如下：连接 AC 交 BD 于 O. 因为四边形ABCD 为矩形，所以 O 为 AC 的中点．连接 OP ，因为 P 为 AM 的中点，所以 MC∥OP. 又 MC?平面 PBD，OP? 平面 PBD，所以 MC∥平面 PBD. [ 题组训练 ] 1.如图，三棱锥P-ABC 中， PA⊥平面 ABC，PA＝1，AB＝ 1，AC＝2，∠ BAC＝ 60°. (1)求三棱锥 P-ABC 的体积；(2)在线段 PC 上是否存在点M，使得 AC⊥BM ，若存在，请说明理由，并求PMMC 的值．解： (1)由题设 AB＝1，AC＝2，∠ BAC＝60°，可得 S△ABC＝12·AB·AC·sin 60°＝32 . 由 PA⊥平面 ABC，可知 PA 是三棱锥 P-ABC 的高，又 PA＝1，所以三棱锥P-ABC 的体积 V＝13·S△ABC·PA＝36 . (2)在线段 PC 上存在点 M，使得 AC⊥ BM，证明如下：如图，在平面ABC 内，过点 B 作 BN⊥AC，垂足为 N.在平面 PAC 内，过点 N 作 MN ∥PA 交 PC 于点 M，连接 BM . 由 PA⊥平面 ABC，知 PA⊥AC，所以 MN⊥AC. 因为 BN∩MN ＝N，所以 AC⊥平面 MBN ，又 BM ? 平面 MBN ，所以 AC⊥BM. 在 Rt△BAN 中， AN＝ AB·cos∠BAC＝12，从而 NC ＝AC－AN＝32，由 MN∥PA，得 PMMC＝ANNC＝13. 2.如图，在四棱锥P-ABCD 中，PD⊥平面 ABCD ，底面 ABCD 为正方形， BC＝ PD＝2，E 为 PC 的中点， CB＝3CG. (1)求证： PC⊥BC；(2)AD 边上是否存在一点M ，使得 PA∥平面 MEG ？若存在，求出 AM 的长；若不存在，请说明理由．解： (1)证明：因为PD⊥平面 ABCD， BC? 平面 ABCD ，所以 PD ⊥BC. 因为四边形ABCD 是正方形，所以BC⊥CD. 又 PD∩CD＝D，PD? 平面...