矢量分析与场论义VIP专享

1 / 17 矢量分析与场论矢量分析是矢量代数和微机分运算的结合和推广，主要研究矢性函数的极限、 连续、导数、微分、积分等。而场论则是借助于矢量分析这个工具，研究数量场和矢量场的有关概念和性质。通过这一部分的学习，可使读者掌握矢量分析和场论这两个数学工具，并初步接触到算子的概念及其简单用法，为以后学习有关专业课程和解决实际问题，打下了必要的数学基础。第一章矢量分析一 内容概要1 矢量分析是场论的基础， 本章主要包括以下几个主要概念：矢性函数及其极限、连续，有关导数、微分、积分等概念。与高等数学研究过的数性函数的相应概念完全类似，可以看成是这些概念在矢量分析中的推广。2 本章所讨论的，仅限于一个自变量的矢性函数tA，但在后边场论部分所涉及的矢性函数， 则完全是两个或者三个自变量的多元矢性函数yx,A或者zyx,,A，对于这种多元矢性函数及其极限、连续、偏导数、全微分等概念， 完全可以仿照本章将高等数学中的多元函数及其有关的相应概念加以推广而得出。3 本章的重点是矢性函数及其微分法，特别要注意导矢t'A的几何意义，即t'A是位于tA的矢端曲线上的一个切向矢量，其起点在曲线上对应 t 值的点处，且恒指向t 值增大的一方。如果将自变量取为矢端曲线的弧长s，即矢性函数成为sAA，则dsdsAA'不仅是一个恒指向s 增大一方的切向矢量， 而且是一个单位切向矢量。这一点在几何和力学上都很重要。4 矢量tA保持定长的充分必要条件是tA与其导矢t'A互相垂直。因此单位矢量与其导矢互相垂直。比如圆函数jietttsincos为单位矢量，故有tt'ee，此外又由于tt1'ee，故tt1ee。（圆函2 / 17 数还可以用来简化较冗长的公式，注意灵活运用）。5 在矢性函数的积分法中， 注意两个矢性函数的数量积和两个矢性函数的矢量积的分部积分法公式有所不同，分别为：dtdt''ABBABAdtdt''ABBABA前者与高等数学种数性函数的分部积分法公式一致，后者由两项相减变为了求和，这是因为矢量积服从于“负交换律”之故。6 在矢量代数中， 在引进了矢量坐标之后， 一个空间量就和三个数量构成一一对应关系，而且有关矢量的一些运算，例如和、差以及数量与矢量的乘积都可以转化为三个数量坐标的相应运算。同样，在矢量分析中，若矢性函数采用坐标表示式， 则一个矢性函数就和三个数性函数构成一一对应关系， 而且有关矢性函数的一些运算，例如计算极限、求导数、求积分等亦可以转化为对其三个坐标函数的相应运算。7 矢性函...