矩阵与数值分析课程数值试验大作业解析

2011 级工科硕士研究生《矩阵与数值分析》 课程数值实验班级：学号：姓名：任课教师：大连理工大学2011 年 12 月 20 日1 一、 对于数列1 1111, ,,,,3 9 27 81，有如下两种生成方式1、首项为01a，递推公式为11,1,2,3nnaan；2、前两项为0111,3aa，递推公式为1210,2,3,3nnnaaan；给出利用上述两种递推公式生成的序列的第50 项。【按第一种递推公式】clear clc a=1; for i=1:50-1 a=[a a(i)/3]; end disp('数列第 50 项小数表达为： ') format long disp(a(50)) disp('分数表达为： ') format rat disp(a(50)) format short [ 运行结果 ] 数列第 50 项小数表达为： 4.178866707295615e-024 分数表达为： 1/239299329230617530000000 【按第二种递推公式】clear clc a=[1 1/3]; for i=2:50-1 2 a=[a 10/3*a(i)-a(i-1)]; end format rat disp('数列第 50 项为： ') disp(a(50)) format short [ 运行结果 ] 数列第 50 项为：2060436 【分析】第一种算法数值稳定， 计算过程舍入误差被严格控制， 且按 1/3 的公差不断缩小。但第二种算法数值不稳定。另外，在第二种算法中，若将递推公式“a=[a 10/3*a(i)-a(i-1)]”中的分母移动位置，改写成“a=[a 10*a(i)/3-a(i-1)]”，则程序运行结果为 -4966040，可以舍入误差被放大的十分严重。二、 利用迭代格式110,0,1,2,4kkxkx及 Aitken 加速后的新迭代格式求方程324100xx在[1, 1.5]内的根【未经加速的代码】clc eps=1e-15; i=1; x0=1; format long while i<100 x1=sqrt(10/(x0+4)); if abs(x1-x0)<=eps break end 3 x0=x1; i=i+1; end disp('方程的解 [ 精度 10^(-15)]') disp(x1) disp('未经加速的迭代次数 ') disp(i) [ 运行结果 ] 方程的解 [ 精度 10^(-15)] 1.36523001341410 未经加速的迭代次数 18 【经 Aitken 加速的代码】clc eps=1e-15; i=1; x0=1; format long while i<100 x1=sqrt(10/(x0+4)); y=sqrt(10/(x1+4)); z=sqrt(10/(y+4)); x1=z-(z-y)^2/(z-2*y+x1); if abs(x1-x0)<=eps break end x0=x1; i=i+1; end disp('方程的解 [ 精度 10^(-15)]') disp(x1) disp('未经加速的迭代次数 ') disp(i) 4 [ 运行结果 ] 方程的解 [ 精度 10^(-15)] 1.36523001341410 未经加速的迭代次数 3 【分析】Aitken 加速能对数列 ｛xk｝起明显的加速作...