矩阵分解的研究及应用

1 / 13 矩阵分解的研究及应用摘要：将一矩阵分解为若干个矩阵的和或积，是解决某些线性问题的重要方法，其技巧性、实用性强。本文首先分成四部分内容来阐述矩阵分解的形式及一些很常见的分解。最后举例说明矩阵分解的应用。关键词： 特征值分解秩分解三角分解和分解关于矩阵分解的形式的文献已有很多，但对于这个问题的分析各不相同。本文从四个方面来论述矩阵的分解的形式，并以一些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性。一、特征值分解性质 1：任意 n 阶矩阵 A ，存在酉矩阵 T ，使得110nATT ，其中1,,n 为矩阵 A的特征值。称形如这样的分解叫做矩阵A 的特征值分解。性 质 1 ： 任 意 n 阶 矩 阵 A ， 存 在 酉 矩 阵 T ， 使 得11sJATTJ， 其 中11iiiiiinnJ，1,2,,is 且1,,s 为矩阵 A的特征值。对于对称矩阵有如下结论：定理 1.1：若 A为 n阶实对称矩阵， 则存在正交矩阵T ，使得11nATT ，其中1,,n为矩阵 A 的特征值。证明由性质 1,知存在酉矩阵 T ，使得110nATT又由于 A 为 n 阶实对称矩阵，因此111111000nnnATTTTATT从而，得1100nn2 / 13 因此11nATT得证。定理 1.2：矩阵 A为正定矩阵的充分必要条件是存在非奇异矩阵B ，使得 AB B 。证明必要性因为 A为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T ，使得11nATT ，且0i，1,2,,in令11nBTT ，则1111110nnnBTTTTTT从而有1111nnB BTTTT211112nnTTTTA充分性因为 AB B ， 则AB BBBB BA因此 A为对称矩阵。又任意不为零的向量x ，有() ()x Axx B BxBxBx令12(,,)Bxxx，又 B 为非奇异矩阵，从而知12(,,)0Bxxx因此22212() ()0nx AxBxBxxxx所以 A为正定矩阵。得证。定理 1.3：设 A是 n阶实对称矩阵， 则 A是正定矩阵的充分必要条件是存在正定矩阵B ，使得kAB ，k 为任意正整数。证明必要性因为 A为正定矩阵，由定理1.1，得存在可逆的正交矩阵T ，使得11nATT ，且0i，1,2,,in3 / 13 对任意的正整数k ，令11kknBTT ，则有111111kkkkkkkknnnBTTTTTTA必要性由于 B 为正定矩阵，因此对任意的非零向量x ，有0x Bx。又kAB ，则有kkkABBBA即 A为对称矩阵且有kx Axx B x①当 k 为奇数时，1122()()kkkx Axx B xBx B Bx又 B 为正定矩阵，因此120kBx，即有22()()0kkkx Axx B xB x B B x②当 k 为偶数时，22() ()kkkx Axx B xB xB x又 B 为正定矩阵，因此20kB ...