矩阵分析课后习题解答版

第一章 线性空间与线性变换（以下题目序号与课后习题序号不一定对应，但题目顺序是一致的，答案为个人整理，不一定正确，仅供参考，另外，此答案未经允许不得擅自上传）（此处注意线性变换的核空间与矩阵核空间的区别）1.9.利用子空间定义，)(AR是mC 的非空子集， 即验证)(AR对mC 满足加法和数乘的封闭性。1.10.证明同 1.9。1.11.rankAnANrankAAR)(dim,)(dim（解空间的维数）1.13. 提示：设),)(njiaAnnij（，分别令TiXX),0,0,1,0,0(( 其中 1位 于iX的 第i行 ），代 入0AXXT， 得0iia； 令TijXX)0,0,10,0,1,0,0(（其中 1位于ijX 的第 i 行和第 j 行），代入0AXXT，得0jjjiijiiaaaa，由于0jjiiaa，则0jiijaa，故AAT，即 A 为反对称阵。若X 是 n 维复列向量，同样有0iia，0jiijaa，再令TijiXX),0,1,0,0,,0,0(( 其中 i 位于ijX 的第 i 行，1位于ijX 的第j 行），代入0AXXH，得0)(ijjijjiiaaiaa，由于0jjiiaa，ijjiaa，则0jiijaa，故0A1.14. AB 是 Hermite 矩阵，则ABBAABABHHH)(1.15. 存在性：令2,2HHAACAAB，CBA，其中 A为任意复矩阵，可验证CCBBHH,唯 一 性 ： 假 设11CBA，1111,CCBBHH， 且CCBB11,， 由1111CBCBAHHH，得CAACBAABHH2,211（矛盾 ) 第二章酉空间和酉变换（注意实空间与复空间部分性质的区别）2.8 法二：设~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(XeeeeeeenTni（1 在第 i 行）；~2121),,()0,0,1,0,0)(,,(YeeeeeeenTnj（1 在第 j 行）根据此题内积定义jijiXYeeHji01),~~（故neee,,21是 V 的一个标准正交基。（注意，在无特别定义的情况下，内积的定义默认为XYYXH),(）2.15 先求得 C 使ACCH，假设CBP，使IAPPH，则有1)(HBB，依次式求得 B，进而求得 P。(此方法不一定正确）2.16 将），，（321进行列变换化为阶梯型知可取21，为其中两个基，另两个基可取TT)1,0,0,0(,0,1,0,043）（，化标准正交基略。2.17 略第二章 矩阵的分解注：例 2.9（1）中的 Jordan标准型有误，1111J，Jordan标准型不唯一，各Jordan 块之间可以互换，互换的原则是：同一特征值对应的 Jordan 块之间可以互换；不同特征值对应的Jordan 块整体可以互换。3.7、3.8 同 3.1 3.11 方法同上3.12 由OAk知 A 的特征值全为 0（xxAxAxxkk,0），则IA的特征值全为 1，根据行列式与特征值的关系，则1IA3.27 略3.29 见课本 P67例 3.17 3.30 见课本 P69例 3.19 第三章 范数及其应用4.12 （1）22AAAmF，22222,minBABABAABFF（2）22221)()(maxAAnAAAtrAAnAnFFHHimmFAnAAA12易证。第七章 广义逆矩阵