矩阵理论典型例题

1 / 3 《矩阵理论》第一二章典型例题一、 判断题1． An为 阶实对称矩阵，nRx对中的列向量，T| | x | |x A x定义, || x||x则为向量的范数 .( ) 2 ． 设 An为 阶Hermite 矩阵，12,,,n 是 矩 阵A 的 特 征 值 ， 则2221||||nmiiA. ( ) 3. 如果m nAC，且0A， ()HAAAA , 则2||||AAn . ( ) 4. 若设nxR ，则212||||||||||||xxnx. ( ) 5. 设m nAR的奇异值为12n ，则2221||||niiA. ( ) 6. 设n nAC，且有某种算子范数|| ||，使得 |||| 1A，则11|| ()||1 ||||EAA,其中 E为 n 阶单位矩阵 . ( ) 7. 设2HAEuu(其中， E 为 n 阶单位矩阵，2||||1nuCu且)，则2||||mAn( ) 8. 设n nAC为正规矩阵，则矩阵的谱半径2( )||||r AA. ( ) 9. 设nnCA可 逆 ，nnCB， 若 对 算 子 范 数 有1|||| |||| 1AB， 则BA可 逆 . ( ) 10. 设 A 为 mn 矩阵， P 为 m 阶酉矩阵 , 则 PA与 A 有相同的奇异值. ( )11. 设n nAC，且 A 的所有列和都相等，则( )r AA. ( ) 12. 如果12(,,,)Tnnxx xxC ，则1||||minii nxx是向量范数 . ( ) 13. 设,n nAC则矩阵范数mA与向量的 1-范数相容 . ( ) 14、设n nAC是不可逆矩阵， 则对任一自相容矩阵范数有1IA, 其中 I 为单位矩阵. ( )2 / 3 二、 设m nAC，,||||max ||iji jAmna，证明 : (1)||||A为矩阵范数 ; (2)||||A为与向量 2-范数相容 . 三、 试证：如果A 为 n 阶正规矩阵，且Axx 和 Ayy ，其中，，那么 x 与 y正交 . 四、 (1) 设(1)n nACn为 严 格 对 角 占 优 矩 阵 ，1 122(,,,)nnDdiag aaa， 其 中(1,2,, )iiain 为 A 的对角元， E 为 n 阶单位矩阵，则存在一个矩阵范数|| ||使得1()1r EDA. (2) 设n nAC, 为任意给定的正数，()r A 为矩阵的谱半径。证明：至少存在一个矩阵范数 ||||A使得 ||||().Ar A五．设矩阵U 是酉矩阵 , 12diag(,,,)nAa aa, 证明 : UA 的所有特征值满足不等式{||}||{||}maxminiiiiaa. 六 . 设 || ||a 是n nC上的相容的矩阵范数, 矩阵,B C 都是n 阶可逆矩阵, 且1||||aB及1||||aC都小于或等于1, 证明 : 对任意矩阵n nAC||||||||baABAC定义了n nC上的一个相容的矩阵范数. 七．设 A 是可逆矩阵 , 是 A 的一个特征值 , 对于任意的算子范数|| ||, 证明11||||||A. 八. 设...