1 / 3 山东科技大学 2010 研究生矩阵理论试卷1、 在矩阵的四个空间中，行空间、列空间、零空间和左零空间中，维数与矩阵的秩相等的子空间是行空间和列空间 . 2、 在矩阵的四个基本子空间中，和列空间构成正交补的是左零空间。3、 利用 QR 分解可以讲矩阵分解为正交阵和上三角形矩阵乘积。4、 通过矩阵svd 分解，可以获得矩阵四个基本子空间的标准正交基。5、 将 3×3 矩阵的第一行加到第三行是初等变换，对应的初等矩阵式1010100016、 当矩阵的零空间中有非零向量的时候，线性方程组Ax=b 有无穷多解。7、 所有的 2×2 实矩阵组成一个向量空间，这个空间的标准基是10000100001000018、 通过施密特正交化可以获得矩阵的QR 分解。9、 在选定一个基后，任何维数为n 的欧式空间与nR 同构。10 如果将矩阵视为线性处理系统，矩阵有m 行， n 列，则输入空间的维数是n。二、判断题1、给定一个线性空间，他的基不是唯一的，但是各个基中的基向量个数是相等的。（R）2、两个子空间的并集是一个子空间。（F）3、在线性方程组Ax=b ，当矩阵 A 式列满秩的时候，无论向量b 是什么，方程组都有解。 （ F）4、线性变换在不同的基下的矩阵一般不同，同一线性变换的不同矩阵表示所对应的特征值都相同。（R）5、线性变换在不同基下的矩阵一般不同，但是对应同一线性变换的各个矩阵的特征向量都相同。（F）6、矩阵特征值的代数重数是该特征值对应的特征子空间的维数。（F）7、任何 N×N 的实矩阵都可以对角化。 （ F）8、矩阵的左逆就是矩阵的最小范数广义逆。（F）9、任何 M ×N 实矩阵都有奇异值分解。 （R）10、正交投影矩阵都是幂等矩阵。（R）三、（矩阵的四个基本子空间和投影矩阵）设矩阵 A 为 A=42421、求矩阵 A 的四个基本子空间的基和维数初等变换0042dim R（ A） =dim R （TA）=1 dim N （ A） =dim N （TA）=1 R(A) 的基22R(TA )的基42N(A) 的基12N(TA)的基112、画出矩阵A 的四个基本子空间的示意图。自己画很好弄3、写出投影到矩阵A 的列空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]T 在列空间上的投影矩阵。2 / 3 IP =A(TAA)1TA因为(TAA)1 不存在不能用这种方法求解求出列空间的基B=11得IP=B(TBB)1TB =2 1111投影矩阵IP*b=2114、写出投影到矩阵A 的左零空间的正交投影矩阵，计算向量b=[0 1]在左零空间上的投影向量。N(TA)R(A)=IR3N(TA)=R(A)所 以3IR)()(TANARIPIP所 以)()(ARA...
