矩阵的特征值和特征向量次型

1 / 11 数学工具软件教案授课题目： 矩阵的特征值和特征向量、二次型授课时间： 2012 年 2 月 28 日、 3 月 1 日教学目的与要求： 学会用 MATLAB 软件求矩阵的特征值和特征向量；学会用 MATLAB软件将二次型化为标准型；学会用MATLAB 软件编程来判断二次型的正定性教学重点与难点： 用 MATLAB 软件求矩阵的特征值和特征向量；用 MATLAB 软件编程来判断二次型的正定性教学方法： 讲授法教学手段： 多媒体教学讲授内容：一、特征值与特征向量矩阵 A 与向量 x 相乘， 即表示矩阵对向量的变换(Transformation) 。一般说来， 向量在变换的作用下将发生旋转(Rotation) 、反射 (Reflection) 和放大缩小。但对于任何一个矩阵来说，总存在那么一些特殊的向量，在对其变换的作用下，向量的方向不变，而仅长短发生变化。这种向量就是所谓的特征向量。定义： 设 A是 n 阶方阵，是一个数。如果存在非零的列向量x ，使得xAx成立，则称数为方阵 A 的特征值 (Eigenvalue) ，非零列向量 x 称为方阵 A 的属于特征值的特征向量 (Eigenvector) ，该方程称为特征方程(Eigenvalue Equation) 。A 的全体特征值的和称为矩阵A 的迹 (Trace)。它等于 A的主对角元素的和。用 Matlab 计算特征值和特征向量的命令如下：d=eig(A) 仅计算 A 的特征值 (以向量形式d 存放 ) [V,D]=eig(A)其中： D 为由特征值构成的对角阵，V 为由特征向量作为列向量构成的矩阵。且使AV=VD 成立trace(A) 计算矩阵 A 的迹例 1：求方阵542452222A的特征值、特征向量和迹2 / 11 解： >> A=[2 2 -2;2 5 -4;-2 -4 5]; >> [V D]=eig(A) >> trace(A) V = -0.2981 0.8944 0.3333 -0.5963 -0.4472 0.6667 -0.7454 0 -0.6667 D = 1.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 10.0000 >> trace(A) ans = 12 答： 特征值为：121（二重），103。对应于特征值12,1的全部特征向量为：04472.08944.07454.05963.02981.021kk其中21 , kk不能同时为零。 对应于特征值103的全部特征向量为：6667.06667.03333.03k其中3k 不能为零。矩阵A 的迹为：12)(Atr二、矩阵的相似对角化设 A ，B 都是 n 阶方阵， 若存在n 阶可逆矩阵P ，使：APPB1，则称矩阵 A ， B是相似的。设 A 是 n 阶方阵，若A 与对角矩阵相似，则称A 可对角化。定理 1： n 阶方阵 A 可对角化的充分必要条件是A 有 n 个线...