矩阵相关性质

相似：存在可逆矩阵P ，使BAPP1，则 A 与 B 相似；合同：存在可逆矩阵C ，使BACCT，则 A 与 B 合同.一、相似矩阵的定义及性质定义 1 设BA,都是 n 阶矩阵，若有可逆矩阵P ，使BAPP1，则称 B 是 A 的相似矩阵，或说矩阵 A 与 B 相似，记为BA ~. 对 A 进行运算APP1称为对 A 进行相似变换，可逆矩阵 P 称为把 A 变成 B 的相似变换矩阵.注 矩阵相似是一种等价关系.（ 1）反身性：AA ~.（ 2）对称性：若BA ~，则AB ~.（ 3）传递性：若BA ~，CB ~，则CA ~.性质 1 若BA ~，则（1）TTBA~；（2）11 ~ BA；（3）EBEA；（4）BA；（5）)()(BRAR.推论 若 n 阶矩阵 A 与对角矩阵n21相似，则n,,,21是 A 的 n 个特征值 .性质 2 若1PBPA，则 A 的多项式1)()(PBPA.推论 若 A 与对角矩阵相似，则1211)()()()()(PPPPAn.注 （1）与单位矩阵相似的只有它本身；（2）有相同特征多项式的矩阵不一定相似.二、矩阵可对角化的条件对 n 阶方阵 A ，如果可以找到可逆矩阵P ，使APP1为对角阵，就称为把方阵A对角化。定理 1 n 阶矩阵 A可对角化（与对角阵相似）A有 n 个线性无关的特征向量。推论 如果 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值互不相等，则A 与对角阵相似 . （逆命题不成立）注：（1）若 A ～，则的主对角元素即为A 的特征值，如果不计i 的排列顺序，则唯一，称之为矩阵A 的相似标准形。（ 2）可逆矩阵 P 由 A 的 n 个线性无关的向量构成。把一个矩阵化为对角阵，不仅可以使矩阵运算简化，而且在理论和应用上都有意义。可对角化的矩阵主要有以下几种应用：三、实对称矩阵的相似矩阵实对称矩阵是一类特殊的矩阵，它们一定可以对角化. 即存在可逆矩阵P ，使得APP1.更可找到正交可逆矩阵T ，使和ATT1定理 2 实对称矩阵的特征值为实数。定理 2 的意义：因为对称矩阵A 的特征值1 为实数，所以齐次线性方程组0)(xEAi是实系数方程组。 又因为0EAi，可知该齐次线性方程组一定有实的基础解系，从而对应的特征向量可以取实向量。定理 3：实对称矩阵A 的对应于不同特征值的特征向量正交。定理 4： A 为 n 阶实对称矩阵，0 是 A 的 k 重特征值，则对应于0 的特征向量中，线性无关的个数为 k ，即0)(0XEA的基础解系所含向量个数为k 。定理 5：（实对称矩阵必可对角化）对于任一 n 阶实对称矩阵A ，一定存在 n 阶正交矩阵 T ，使得ATT1。其中是以 A的...