矩阵的秩及其求法

第五节：矩阵的秩及其求法一、矩阵秩的概念1. k 阶子式定义 1 设在 A中任取 k 行 k 列交叉处元素按原相对位置组成的阶 行列式 ，称为 A 的一个 k 阶子式。例如共有个二阶子式，有个三阶子式矩阵 A 的第一、三行，第二、四列相交处的元素所构成的二阶子式为而为 A 的一个三阶子式。显然，矩阵 A 共有个 k 阶子式。2. 矩阵的秩定义 2 设有 r 阶子式不为0，任何 r +1 阶子式 ( 如果存在的话 ) 全为0 ,称 r 为矩阵 A的秩，记作R( A) 或秩 ( A) 。规定：零矩阵的秩为 0 .注意 ：(1) 如 R ( A ) = r ，则 A 中至少有一个r 阶子式所有r + 1 阶子式为0，且更高阶子式均为 0 ，r 是 A 中不为零的子式的最高阶数，是唯一的 . (2) 有行列式的性质， (3) R(A) ≤m, R( A) ≤n, 0 ≤R( A) ≤min { m , n } . (4) 如果An×n , 且则 R ( A ) = n . 反之，如R ( A ) = n , 则因此，方阵A 可逆的 充分必要 条件是R ( A ) = n .二、矩阵秩的求法1、子式判别法 ( 定义 ) 。例 1 设为阶梯形矩阵，求R( B) 。nmijaA),min1(nmkk110145641321A182423 CC43334CC10122D1015643213DnmknkmccnmijaA0 ,rD()().TR AR A0 ,A0.A000007204321B解由于存在一个二阶子式不为0，而任何三阶子式全为0，则 R( B) = 2.结论：阶梯形矩阵的秩=台阶数。例如一般地，行阶梯形矩阵的秩等于其“台阶数”——非零行的行数。例 2 设如果求 a .解或例 3则2、用初等变换法求矩阵的秩定理 2 矩阵初等变换不改变矩阵的秩。即则02021010010100321A001021B100010011C125034000D21235081530007200000E3AR2BR3CR2R D3R EaaaA111111,3AR3ARaaaA1111110)1)(2(2aa1a2aKKKKA1111111111113ARK3311111113(1) (3)111111KAKKKKKBA)()(BRAR注：只改变子行列式的符号。是 A 中对应子式的k 倍。是行列式运算的性质。求矩阵 A 的秩方法：1）利用初等行变换化矩阵A 为阶梯形矩阵B2）数阶梯形矩阵B非零行的行数即为矩阵A 的秩。例 4 求解 R( A) = 2 例 5三、满秩矩阵定义 3 A 为 n 阶方阵时，称 A 是满秩阵，（非奇异矩阵）jirr.1irk.2jikrr.3211163124201A.AR122rrA211021104201000021104201,2,6352132111，求）（且设ARA6352132111A458044302111015044302111,2)( AR1,501,05,nAR称 A 是降秩阵，（奇异矩阵）可见：对于满秩方阵A 施行初等行变...