矩阵知识点归纳(一)二阶矩阵与变换1．线性变换与二阶矩阵在平面直角坐标系xOy 中，由x′ ＝ax＋by，y′ ＝cx＋dy，(其中 a，b，c，d是常数 )构成的变换称为线性变换．由四个数a，b，c，d 排成的正方形数表abcd 称为二阶矩阵，其中a，b，c，d 称为矩阵的元素，矩阵通常用大写字母A，B，C，⋯或 (aij)表示 (其中 i，j 分别为元素 aij 所在的行和列 )．2．矩阵的乘法行矩阵 [a11a12] 与列矩阵b11b21的乘法规则为 [a11a12]b11b21＝[a11b11＋a12b21]，二阶矩阵abcd 与列矩阵xy 的乘法规则为abcdxy ＝ax＋bycx＋dy.矩阵乘法满足结合律，不满足交换律和消去律．3．几种常见的线性变换(1)恒等变换矩阵 M＝1001 ；(2)旋转变换 Rθ对应的矩阵是 M＝cos θ－sin θsin θ cos θ；(3)反射变换要看关于哪条直线对称．例如若关于 x 轴对称，则变换对应矩阵为M 1＝1 00－1 ；若关于y 轴对称，则变换对应矩阵为M 2＝－1001 ；若关于坐标原点对称， 则变换对应矩阵 M3＝－100 －1 ；(4)伸压变换对应的二阶矩阵M＝k100k2，表示将每个点的横坐标变为原来的 k1倍，纵坐标变为原来的k2倍，k1，k2 均为非零常数；(5)投影变换要看投影在什么直线上， 例如关于 x 轴的投影变换的矩阵为 M ＝1000 ；(6)切变变换要看沿什么方向平移，若沿x 轴平移 |ky|个单位，则对应矩阵 M＝1k01 ，若沿 y 轴平移 |kx|个单位，则对应矩阵M＝10k1 .(其中 k 为非零常数 )．4．线性变换的基本性质设向量 α＝xy ，规定实数 λ 与向量 α 的乘积 λα＝λ xλ y；设向量 α＝x1y1 ，β＝x2y2 ，规定向量 α 与 β 的和 α＋β＝x1＋x2y1＋y2. (1)设 M 是一个二阶矩阵， α、β 是平面上的任意两个向量，λ 是一个任意实数，则① M(λα)＝λMα ，②M (α＋β)＝Mα ＋Mβ . (2)二阶矩阵对应的变换(线性变换 )把平面上的直线变成直线(或一点)．(二)矩阵的逆矩阵、特征值与特征向量1．矩阵的逆矩阵(1)一般地，设 ρ 是一个线性变换， 如果存在线性变换σ，使得 σ ρ＝ρ σ＝I，则称变换 ρ 可逆．并且称 σ是 ρ 的逆变换．(2)设 A 是一个二阶矩阵，如果存在二阶矩阵B，使得 BA＝AB＝E，则称矩阵 A 可逆，或称矩阵 A 是可逆矩阵， 并且称 B 是 A 的逆矩阵．(3)(性质 1)设 A 是一个二阶矩阵， 如果 A 是可逆的， 则 A 的逆矩阵是唯一的． A 的逆矩阵记为 A－1...
