矩阵论在人口迁移问题中的应用矩阵论报告

研究生“矩 阵论 ”课程课外作业姓名：学号：学院：专业：类别：上课时间：成绩：矩阵论在人口迁移问题中的应用摘要本文根据矩阵论的理论解决实际中的人口迁移问题，做出简单的分析和概括。文中运用方阵函数()fA 的相关基本理论来解决这一实际问题，使得实际问题得到简化解决，最终得出人口迁移问题的最终结论。1、待解决问题内容：假设有两个地区—如北方和南方， 之间发生人口迁移， 每一年北方 50%的人口迁移到南方，同时有25%的南方人口迁移到北方，直观上可由下图表示：问题：这个移民过程持续下去， 北方的人会不会全部搬到南方？如果会请说明理由；如果不会，那北方的人最终人口分布会怎样？2、基本术语解释方阵函数( )f A ：最简单的方阵函数是矩阵多项式01()nnBfAa Ea Aa AL，其中,n niACaC 。 一般运用复变幂级数的和函数定义方阵幂级数和函数—方阵函数。3、基本理论阐述：1、Hamilton-Cayley 定理：设矩阵 A 的特征多项式为( )f，则有( )0f A。设 A 的特征多项式为：1101nnnfaaaLHamilton-Cayley 定理表明：11010nnnfAAaAa Aa EL， 即 方 阵 函 数 可 以 由1,,,,nnAAA EL的线性组合表示。方阵函数是多项式01fAa Ea AL，其中,n niACaC 。N S 0.5 0.25 0.5 0.75 2、最小多项式的相关理论：定义 1：A是 n 阶方阵， f是方阵 A 的特征多项式。如果有0fA，则称 f是方阵 A 的零化多项式。由Hamilton-Cayley 定理知一个矩阵的零化多项式一定存在。定义 2：在 n 阶方阵 A的所有零化多项式中，次数最低的首一多项式，称为A的最小多项式。设n nAC的最小多项式为1212( )() ()()stttsmL其中 12sttttL，(, ,1,2,, )ij ij i jsL，而方阵函数 fA 是收敛的方阵幂级数0kkka A 的和函数，即0()kkkf Aa A设1011( )ttTbbbL，使( )( )()()lliifT1,2,,0,1,,1iisltLL，则0()( )kkkT Af Aa A3、运用( )f z 在 A 上的谱值计算方阵函数( )f A 的理论 ：设 n 阶方阵 A 的最小多项式为1212( )() ()()stttsmL，其中2,,,sL是 A 的互不相同的特征根。如果复函数( )f z 及其各阶导数( ) ( )lfz 在(1,2,, )izisL处的导数值，即( )( )()lliild f zfzdz1,2,,0,1,,1iisltLL均为有限值，便称函数( )f z 在方阵 A 的谱上给定，并称这些值为( )f z 在 A 上的谱值。4、报告正文根据所给条件，设南方和北方第一年的人口数量分别为s和 n，第 n年人口...