矩阵论复习题

1 / 5 2012 矩阵论复习题1. 设RV是正实数集 , 对于任意的Vyx,, 定义 x与 y 的和为yxyx对于任意的数Rk, 定义 k 与 x 的数乘为kxxk问: 对于上述定义加法和数乘运算的集合V , 是否构成线性空间 , 并说明理由 . 2. 对任意的2,Ryx,),(21 xxx,),(21 yyy定义 x 与 y 的和为),(112211yxyxyxyx对于任意的数Rk, 定义 k 与 x的数乘为)2)1(,(2121xkkkxkxxk问: 对于上述定义加法和数乘运算的集合2R , 是否构成线性空间 , 并说明理由 . 3．设},022|),,{(321321RxxxxxxxSi，试证明 S 是3R 的子空间，并求 S的一组基和Sdim. 4. 设)(RPn表示次数不超过 n 的全体多项式构成的线性空间, )}()(,0)0(|)({RPxffxfSn证明 S是)(RPn的子空间 , 并写出 S 的一组基和计算Sdim. 5. 设 T 是2R 上的线性变换 , 对于基向量 i 和 j 有jiiT)(jijT2)(1) 确定 T 在基},{ji下的矩阵 ; 2) 若jie1jie32, 确定 T 在基},{21 ee下的矩阵 . 6. 设 T 是3R 上的线性变换 , 对于基},,{kji有kjkjiT)(ikjT)(kjikT532)(2 / 5 1) 确定 T 在基},,{kji下的矩阵 ; 2) 求T 的零空间和像空间的维数. 7. 在线性空间)(3 RP中321)(xxxaxf3221)(xxaxxf32321)(xxxxf讨论)(),(),(321xfxfxf的线性相关性 . 8. 在2 2R中求由基 (I) 12101A20122A32112A41312A到基(II) 11210B21111B31211B41101B的过渡矩阵 . 9. 已知1(1,2,1,0)2(2, 1,0,1)1( 1,1,1,1)2(1, 1,3,7)设1212(,)(,)VLL, 求线性空间 V 的维数和基 . 10. 在)(2 RP中, 对任意的)()(),(2 RPxgxf定义内积为10)()())(),((dxxgxfxgxf若取)(2 RP的一组基},,1{2xx, 试用SchmidtGram正交化方法 , 求)(2 RP的一组标准正交基 . 11. 在2[ ]P x 中，内积定义为 ：120,( ) ( ),,[ ].f gf x g x dxfgP x（1）如果612xxxf，计算 f；（2）证明：任一线性多项式bxaxg，都正交于612xxxf. 12. 设 A 是nnC上的 n 阶方阵 , x 是nC 上的 n 维列向量 , 证明：22||||||||||||FAxAx. 13. 设nnCA, 并且满足EAAH, 计算2|||| A和FA ||||. 14. 设101202011A，求 A 的秩分解 . 3 / 5 15. 已知122112012422A，求 A 的最大秩分解。16. 求矩阵10002iAi的奇异值分解 . 17. 设m nAC，1）证明：()( )Hrank A Arank A ; 2) 证明：HA A是半正定矩阵或正定矩阵。18. 求下列矩阵的谱阵和谱分解400031...