1 第五讲（续） 平稳时间序列的 ARMA 模型 2 1 平稳性 有一类描述时间序列的重要随机模型受到了人们的广泛关注，这就是所谓的平稳模型。这类模型假设随机过程在一个不变的均值附近保持平衡。其统计规律不会随着时间的推移发生变化。平稳的定义分为严 平稳和宽 平稳。 定义1（严平稳） 设 ,tx tT是一个随机过程,tx 是在不同的时刻t 的随机变量， 在不同的时刻t是不同的随机变量，任取n个值1 ,,ntt和任 3 意的实数h，则1,,nxx分布函数满足关系式 1111( ,,; ,)( ,,;,)nnnnnnF xxttF xxthth则称,tx tT为严平稳过程。 在实际中，这几乎是不可能的。由此考虑到是否可以把条件放宽，仅仅要求其数字特征(数学期望和协方差)相等。 定义2 （宽平稳） 若随机变量,tx tT的均值（一阶矩）和协方差（二阶矩）存在，且满足： 4 （1）任取tT ，有( )tE xc ； （2）任取tT ，tT ，有 [(( ))(())]( )E X ta X taR 协方差是时间间隔的函数。则称,tx tT 为宽平稳过程，其中( )R 为协方差函数。 2 各种随机时间序列的表现形式 5 白噪声过程（w hite noise，如图1）。属于平稳过程。yt = ut, ut IID(0, 2) -3-2-10123100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300w hite noise 图1 白噪声序列（2=1） 6 随机游走过程（random w alk，如图11）。属于非平稳过程。yt = yt-1 + ut, ut IID(0, 2) -10-5051020406080100120140160180200y=y(-1)+u 7 图2 随机游走序列（2=1） -2-1012220240260280300320340360380400DJP Y 8 图3 日元兑美元差分序列 12001400160018002000220050100150200250300 9 图4 深圳股票综合指数 20406080100400450500550600650700750800 10 图5 随机趋势非平稳序列（ = 0.1） -8 0-6 0-4 0-2 002 01 0 02 0 03 0 04 0 05 0 06 0 07 0 08 0 0 图6 随机趋势非平稳序列（ = -0.1） 1 1 7.07.58.08.59.09.510.05560657075808590Ln(Income) 图7 对数的中国国民收入序列 1 2 4681012145055606570758085909500Y 图8 中国人口序列 13 3 延迟算子 延迟算子类似于一个时间指针，当前序列值乘以一个延迟算子，就相当于把当前序列值的时间向过去拨了一个时刻，记B 为延迟算子，有,1pt ptxB xp ...
