平面向量常见题型汇编4平面向量的投影问题VIP专享

平 面 向 量 的 投 影 问 题 数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 1. 定 值 问 题 例题1： 已知向量满足，且，则在方向上的投影为 解析：考虑b 在a 上的投影为a bb，所以只需求出a b即可。由 aab 可得：20aabaa b，所以 9a b  。进而933223a bb  变式1： 两 个 半 径 分 别 为12,r r 的圆,M N , 公 共 弦 AB 长 为3 ，如 图所 示 ，则AM ABAN AB __________. 分析：AB 为两个圆的公共弦，从而圆心,M N 到弦 AB 的投影为AB 的中点，进而,AM AN在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算 AM AB和 AN AB时可利用向量的投影定义。 解析：取 AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MTAB NTAB 21922AM ABATABAB 21922AN ABATABAB 9AM ABAN AB ,a b3 ,23abaabba例题2： 如图，在ABC 中，4,30ABBCABC，AD 是边BC 上的高，则AD AC的值等于 解析：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以2AD ACAD，只需求出ABC 的高即可。由已知可得sin2ADABABC，所以24AD ACAD 变式2： 如图，O 为 ABC 的外心，4,2,ABACBAC为钝角，M 是边BC 的中点，则 AMAO的值为 解析：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ， 所以AO 在,AB AC 上的投影为 11,22APABAQAC，而 M 恰好为BC 中点， 故考虑12AMABAC， 所以22111 11+5222 22AM AOABACAOAB AOAC AOABAC 2. 范 围 问 题 例题3： 若过点 1,1P的直线l 与 22:4O xy相交于,A B 两点，则OA OB的取值范围是_______ 解析：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线， 垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OBO...