平 面 向 量 的 投 影 问 题 数量积投影定义的适用范围：作为数量积的几何定义，通常适用于处理几何图形中的向量问题。 （1）图形中出现与所求数量积相关的垂直条件，尤其是垂足确定的情况下（此时便于确定投影），例如：直角三角形，菱形对角线，三角形的外心（外心到三边投影为三边中点） （2）从模长角度出发，在求数量积的范围中，如果所求数量积中的向量中有一个模长是定值，则可以考虑利用投影，从而将问题转化为寻找投影最大最小的问题 1. 定 值 问 题 例题1： 已知向量满足，且，则在方向上的投影为 解析：考虑b 在a 上的投影为a bb，所以只需求出a b即可。由 aab 可得：20aabaa b，所以 9a b 。进而933223a bb 变式1： 两 个 半 径 分 别 为12,r r 的圆,M N , 公 共 弦 AB 长 为3 ，如 图所 示 ，则AM ABAN AB __________. 分析：AB 为两个圆的公共弦，从而圆心,M N 到弦 AB 的投影为AB 的中点，进而,AM AN在AB 上的投影能够确定，所以考虑计算 AM AB和 AN AB时可利用向量的投影定义。 解析：取 AB 中点T ，连结,MT NT ，由圆的性质可得：,MTAB NTAB 21922AM ABATABAB 21922AN ABATABAB 9AM ABAN AB ,a b3 ,23abaabba例题2： 如图，在ABC 中，4,30ABBCABC，AD 是边BC 上的高，则AD AC的值等于 解析：由图中垂直可得：AC 在AD 上的投影为AD ，所以2AD ACAD，只需求出ABC 的高即可。由已知可得sin2ADABABC，所以24AD ACAD 变式2： 如图，O 为 ABC 的外心，4,2,ABACBAC为钝角，M 是边BC 的中点，则 AMAO的值为 解析：外心O 在,AB AC 上的投影恰好为它们的中点，分别设为,P Q ， 所以AO 在,AB AC 上的投影为 11,22APABAQAC，而 M 恰好为BC 中点， 故考虑12AMABAC， 所以22111 11+5222 22AM AOABACAOAB AOAC AOABAC 2. 范 围 问 题 例题3： 若过点 1,1P的直线l 与 22:4O xy相交于,A B 两点，则OA OB的取值范围是_______ 解析：本题中因为,OA OB 位置不断变化，所以不易用数量积定义求解，可考虑利用投影，即过B 作直线OA 的垂线， 垂足为D ，通过旋转AB 可发现，当OBO...
