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平面向量的数量积及其应用

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1 进入虚拟课堂 高三数学总复习教程( 第 16讲) 一、本讲内容 平面向量的数量积及其应用 本讲进度,向量的数量积,数量积的应用 二、学习指导 要深刻理解向量数量积的定义:a 、 b = a b cos< a 、 b > .它是数(可正、可负,也可以为零),但不是向量,因此,a · b =b · a , λ ( a · b ) =a · λ b , a ·( b +c ) =a · b = a · c , a · o =0(而不是o !)特别地,( a · b ) c ≠ a ·( b · c ),因为左边是与c 共线的向量,而右边是与a 共线的向量,除特殊情况外,两者不相等。 我们利用向量的数量积(又称为点积)可以解决向量的夹角问题,特别地,利用向量的数量可以很方便地解决垂直问题,: a ⊥ b  a · b =0,( a , b 非零向量) a cos < a 、 b >是a 在 b 上的射影,值得注意的是它仍是一个数(可正,可负,可以为0)而不是向量。 特别地,a · a = a 2cos< a · a = a 2,由此,可把点积与模长(距离)挂上钩。 三、典型的例题讲解 例 1.证明三角形中的射影定理:a=bcosC+ccosB 用向量证明一些三角问题,如正弦定理,余弦定理等很方便,但同学们却觉得不好掌握,这里我们再看一个例子。 BC = BA+ AC ,两边同等BC , BC 2= BA· BC +CA · CB = BA BC cosB+CA cosC 两边约去BC ,可得BC = BA cosB+ CA cosC,即a=ccosB+bcosC 例 2. 平面内有四点,O、 A、B、C, 记 OA=a , OB =b , OC =c 若 a +b +c =o 且 a · b =b · c =c · a =- 1,试判断△ABC 的形状,并求其面积. 千万不能由a · b =b · c 约 b 得到a =c ,一是过程差无根据,二是合得到A、 B、 C 当同一点的荒谬结论。 也不能由a ·b =b ·+=c · a =- 1 得到a b = b c = c a =1,从而a = b = c =1,圆为ba  ≠ a · b ,前者ba  =| a + b cos

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