离散时间系统状态稳定性附判别法

1 / 10 § 5.4 离散时间系统状态稳定性及判别法1. 离散时间系统的平衡状态(点) 设0(1)( ),(0),0, 1, 2,,x kAx kxxkL(5.17) 称eAx0的ex 为(5.17)的平衡状态 (点). 当 A 奇异时 , 有无数个平衡状态. 2. 平衡状态 (点)的稳定性(1)稳定：0,0,使当exx0时,有ex kxk( ),0；(2)渐近稳定：0,使当exx0时,有ekx kxlim( )0；(3)全局渐近稳定： 任意nx0R ,都有ekx kxlim( )0；(4)不稳定：00, 无论多小正数 , 总有 k10, 使ex kx10()对定常系统 , 渐近稳定全局一致渐近稳定 . 3.稳定性判别对定常系统(1)( )x kAx k若0ex稳定 (渐近稳定 )，则其它ex 也稳定 (渐近稳定 )；3 / 10 若0ex渐近稳定，则ex 必为一致全局渐近稳定；简单介绍0ex稳定性条件设(5.17)的解kx kA xk0( ),0, 1, 2, L则渐近稳定kkkx kA x0lim( )0lim0( x00), kkAlim0kkTJ T1lim0kkJlim0A 的所有特征值的模全小于1 A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 其中 J 为 A 的若当形 . 如11......kkkkrrJJJJJ且再如11221111001000000kkkkkkkkkkkCCJC5 / 10 A 的所有特征值的模全小于1 A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内. 例 设 A 有互不相同特征值n12,,,L, 则 T, 使kkkkknnATTTT112-1-12OO由此可得kiikinin||1,1, 2,,lim0,1, 2,,LLkkAlim0. 定理 5.12 系统为 (5.17)的稳定性判定如下：(i) 0ex稳定A 所有特征值的模全小于1 或等于 1, 且模等于 1 的特征值对应的约当块是一阶的；(ii) 0ex渐近稳定A 的所有特征值模全小于1. 对一般非线性系统x kF x kk(1)( ( )),0, 1, 2,L(5.18) 在ex0(设 F (0)0)的稳定性判定方法有7 / 10 定理 5.13 对(5.18), 若( )x k 的标量函数 Vx k(( ( )),满足(i) V x k( ( ))为正定；(ii) V x kV x kV x k( ( ))( (1))( ( )) 负定；(iii) 当x k||( ) ||时,有Vx k(( ( )). 则ex0全局渐近稳定的 . 若无 (iii), 则ex0是渐近稳定的；再若 (ii) 中 V x k( ( ))为半负定 , 则ex0仅是稳定的 . 定理用于定常系统(5.17), 即得定理 5.14 线性定常离散 (5.17)的ex0为渐近稳定对Q > 0, 李雅普诺夫方程TA PAPQ有唯一正定解P. 证只证充分性 , 即已有对Q > 0, TA PAPQ有唯一解0P, 令TkkkV xx Px(), 则有TTkkkkkkkV xV xV xxPxx Px111()()()TTTkkkkxA PAP xx Qx(), 9 / 10 显见kV x()为负定 , 故ex0渐近稳定 . 例 5.6 设ax kx kb0(1)( )0试分析稳定的条件. 解 选 Q = I, 则有TA PAPI , 即ppppaappppbb111211122122212200100001整理且比较 , 得,1)1(,0)1(,1)1(22212211bpabpap要 P 为正定 , 需满足ab||1,||1, (5.19) 解出pppab1112222211,0,11, ex0一致全局渐近稳定 . 实质上：ab||1,||1所有特征值的模全小于1.