利用线面角、二面角本质解题VIP免费

利用线面角和二面角本质解题沈勤龙某天听了一节高三某老师的试卷讲评课，很有收获。觉得应该写出来与各位分享，并希望各位不断提醒自己，在学习数学的过程中，应不断思考，不断追求本质。首先，我们要认识线面角和二面角的两个本质（不作展开，自行理解或证明）：本质1：一条斜线与已知平面中的任一条直线所成的角中，线面角最小。本质2：对于一个锐二面角，在其中一个半平面中的任一条直线与另一个半平面所成的线面角中，二面角最大。上述本质其实我们稍微思考一下，是可以想到的。那么怎么运用呢？先看2017年3月中旬嘉兴一模的一个试题：【试题1】（2017年嘉兴一模第17题（填空题最后一题）【解析】本题是在讲线段AC上一个动点的问题，其实本质就是平面ACD上一条动直线与平面BCD所成角的问题。因为两条平行直线与同一个平面所成的角相等，所以不妨在平面ACD中过点A作AF//PE，交线段CD与F。根据相对运动，即求F在什么位置时，AF与平面BCD所成角最大。很显然，当AF垂直于CD时，角最大。如下图，连接HF，易得HF也垂直于CD，所以构成一个二面角的平面角AFH。sinθ的最大值为√53。本题如果用本质2，是很容易解决的。再来看这几年浙江省高考中的相关题型：【试题2】（2014年浙江省理科第17题（填空题最后一题）【解析】本题的本质是在讲平面ACM上一条动直线AP与平面ABC所成角的问题。根据本质2，即求二面角M-AC-B的大小。如下图，不妨取CM垂直于平面ABC，再过B作BH垂直于AC于点H，连MH，可得MH也垂直于AC。所以连接HF，易得HF也垂直于CD，所以构成一个二面角的平面角AFH。tanθ的最大值为5√39。哦，又是抓本质解决问题！再来看一题：【试题3】（2017年浙江省统考第9题（选择题倒数第二题）【解析】这个题目就简单了。首先由本质2，可以得到θ≥θ1（所以到这里正确选项A已经产生）；由本质1，可以得到θ1≤θ2。至于θ与θ2的大小，就不确定了：从极端的角度，当二面角D-AB-C无限小（趋向于0）时，可得θ≤θ2；当二面角D-AB-C无限大（趋向于π）时，可得θ≥θ2。关于极端原理，还可以解决以下浙江省的高考题：【试题4】（2015年浙江理科第8题（选择题倒数第三题）【解析】顺着上面的话，从极端的角度来说，当二面角A'−CD−B无限小（趋向于0）时，可得α≤∠A'CB；当二面角A'−CD−B无限大（趋向于π）时，可得α≥∠A'CB。故选项C和选项D不能选。当二面角A'−CD−B无限小（趋向于0）时，可得α≤∠A'DB；当二面角A'−CD−B无限大（趋向于π）时，可得α趋向于∠A'DB。故选项B成立。答案是对的，但总感觉有点不踏实。这是没办法的办法，或者叫做巧做。那么有没有踏实的做法呢？应该有吧：如上图，过点A'作A'H⊥DC于H，连AH，A'B,A'A则有AH⊥DC。所以α=π−∠A'HA。又因为ΔA'HA是等腰三角形，所以α=2∠AA'H=2∠1。同理，∠A'DB=2∠AA'D=2∠2。又作DM⊥A'A于点M，连MH，可得MH⊥A'A。又tan∠1=MHA'M,tan∠2=MDA'M，且MH≤MD（斜边大于直角边），所以tan∠1≤tan∠2，继而∠1≤∠2，所以α≤∠A'DB。故选项B成立。