空间几何体表面积与体积公式大全

1 / 18 空间几何体的表面积与体积公式大全一、全（表）面积（含侧面积）1、柱体① 棱柱② 圆柱2、锥体① 棱锥：hcS‘底棱锥侧21② 圆锥：lcS底圆锥侧213、台体① 棱台：hccS)(21‘下底上底棱台侧② 圆台：lccS)(21下底上底棱台侧4、球体① 球：rS24球② 球冠：略③ 球缺：略二、体积1、柱体① 棱柱② 圆柱2、锥体① 棱锥② 圆锥h'S上S上lS下S下hcS侧SSS侧底全2SSS侧底全SSSS下侧上全hSV 柱hSV31柱hShShShShShShShS2 / 18 3、台体① 棱台② 圆台4、球体① 球：rV334球② 球冠：略③ 球缺：略说明：棱锥、棱台计算侧面积时使用侧面的斜高h'计算；而圆锥、圆台的侧面积计算时使用母线 l 计算。三、拓展提高1、祖暅原理：（祖暅：祖冲之的儿子）夹在两个平行平面间的两个几何体，如果它们在任意高度上的平行截面面积都相等，那么这两个几何体的体积相等。最早推导出球体体积的祖冲之父子便是运用这个原理实现的。2、阿基米德原理：（圆柱容球）圆柱容球原理：在一个高和底面直径都是r2的圆柱形容器内装一个最大的球体，则该球体的全面积等于圆柱的侧面积，体积等于圆柱体积的32 。)(3122rrrrhV下下上上圆台)(31SSSShV下下上上台hh'S上S上lS下S下3 / 18 分析：圆柱体积：rrhSVr3222)(圆柱圆柱侧面积：rhcSrr242)2(圆柱侧因此：球体体积：rrV3334232球球体表面积：rS24球通过上述分析，我们可以得到一个很重要的关系（如图）+=即底面直径和高相等的圆柱体积等于与它等底等高的圆锥与同直径的球体积之和3、台体体积公式公式：)(31SSSShV下下上上台证明：如图过台体的上下两底面中心连线的纵切面为梯形ABCD。延长两侧棱相交于一点 P 。设台体上底面积为 S上 ，下底面积为 S下高为 h 。易知：PDC ∽PAB，设hPE1 ，则hhPF1由相似三角形的性质得：PFPEABCDEFABCDP4 / 18 即：hhhSS11下上(相似比等于面积比的算术平方根) 整理得：SShSh上下上1又因为台体的体积 =大锥体体积—小锥体体积∴hSSShhShhSV下上下上下台）（31)(313131111代入：SShSh上下上1得：hSSSSShSV下上下上下上台31)(31即：)(3131)(31SSSShhSSShSV下下上上下上下上台∴)(31SSSShV下下上上台4、球体体积公式推导分析：将半球平行分成相同高度的若干层（层n）， n 越大，每一层越近似于圆柱， n时，每一层都可以看作是一个圆柱。这些圆柱的高为nr ，则：每个圆柱的体积hSVii=nrr i2半球的体积等于这些圆柱的体积之和。]1[)0()0(222221nrrnrr]1...