空间向量基本知识点VIP专享

第十二讲空间向量基本理论知识梳理 ：1．空间向量的有关概念（1）空间向量：空间里具有大小和方向的量叫做向量，记为a 。（2）空间向量的长度或模：空间向量也可以用有向线段来表示，有向线段的长度教做向量的长度或模，记为a 。（3）零向量和单位向量：长度为0 的向量和长度为1 的向量分别为零向量（规定：方向任意）和单位向量（4）相等向量和相反向量：长度和方向相同的向量为相等向量；长度相同方向相反的向量为相反向量。2．空间向量加减与数乘运算+：baABOAOB—：baOBOABA数乘：)(RaOP运算律：⑴加法交换律：abba⑵加法结合律：)()(cbacba⑶数乘分配律：baba)(3 共线向量 :表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．If a 平行于 b ,then 记作ba //．That means: 当我们说向量 a 、 b 共线（或 a // b ）时，表示 a 、 b 的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．4．共线向量定理及其推论：共线向量定理：空间任意两个向量a 、 b （ b ≠0 ）， a // b 的充要条件是存在实数，使 a ＝b . 推论 ：如果 l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a 的直线，那么对于任意一点O，点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数t 满足等式 : tOAOPa ．其中向量 a 叫做直线 l 的方向向量 . 5．共面向量： 已知平面和向量 a ，作 OAa，如果直线 OA 平行于或在内，那么我们说向量 a 平行于平面，记作：//a．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。That means ：空间任意的两向量都是共面的。6．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线， p 与向量,a b 共面的充要条件是存在实数,x y 使 pxayb推论 ：空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使 MPxMAyMB 或对空间任一点O ，有OPOMxMAyMB①(①式叫做平面 MAB 的向量表达式 ) 7.空间向量基本定理： 如果三个向量, ,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组, ,x y z ，使 pxaybzc其中： { a， b ， c } 叫做空间的一个基底，a ， b ， c 都叫做基向量。推论 ：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数, ,x y z，使 OPxOAyOBzOC8.空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b ，在空间任取一点O ，作,OAa OBb ，则AOB 叫做...