学习好资料欢迎下载竞赛中著名不等式汇集作者阿道夫（配以典型的例题）2013.2.28 在数学领域里，不等式知识占有广阔的天地。不等式常以其优美的结构 、严谨的解法 、 恢弘的气势 、广阔的知识容纳性、深层的数学背景等，而被众多竞赛大家所看重，也被莘莘学子所追崇。以下根据自己在前些年教学中的总结并引学了其他贤人的智慧汇集如下，希望对同学们有所帮助。1.平均不等式（均值不等式）2. 柯西不等式（柯西—许瓦兹不等式或柯西—布尼雅可夫斯基不等式）3.排序不等式（排序原理）4. 契比雪夫不等式5. 贝努利不等式6. 琴生不等式7. 含有绝对值的不等式8. 舒尔不等式9. 一些几何不等式01 佩多不等式02外森比克不等式03 三角形内角的嵌入不等式10. 内斯比特不等式11．Holder 不等式 . 12. 闵可夫斯基（ Minkowski ）不等式1.平均不等式（均值不等式）设naaa,,,21是 n 个正数，令naaannH111)(21（调和平均值） ，nnaaanG21)(（几何平均值） ，naaanAn21)(（算术平均值） ，naaanQn22221)(（平方平均值） ，则有（）( 调和平均几何平均不等式) )()(nGnH；学习好资料欢迎下载（）( 几何平均算术平均不等式) )()(nAnG；（）（算术平均平方平均不等式）)()(nQnA. 这些不等式又统称为均值不等式. 等号成立的充要条件是naaa21. （）)()(nGnHnaaan11121nnaaa21naaaaaaaaaaaannnnnnn21221121(1) 121221121nnnnnnnaaaaaaaaaaaa , 由3的 推 论2知 （ 1 ） 式 成 立 ， 故 （） 成 立 . 等 号 成 立 的 充 要 条 件 是nnnnnnnaaaaaaaaaaaa21221121，即naaa21. （）)()(nAnGnnaaa21naaan21naaaaaaaaaaaannnnnnn21212211(2) 121212211nnnnnnnaaaaaaaaaaaa , 所以由 3 的推论 2 知（ 2）成立，故（）成立 . 显然等号成立的充要条件是naaa21. （） 令naaacn21，再令iiac，ni,,2,1，则1212nnaaanc1212nnaaa（）. ∴12n =0 , 学习好资料欢迎下载2222221212()()()nnaaacccnn2222212ncccn. 等号成立的充要条件是222120n，即naaa21. 另： G,Q 证明还可以借助2 维形式加以证明练习：1）. 设的最小值为. 2）.设 A、B、C、D为空间中的四点，求证：证明：如图，取BD的中点 E，连结 AE和 EC，则在 △ABD和△BCD中，根据中线的性质，有3）.（2005 年日本数学奥林匹克）若正实数,,,cba满足1cba，求证1111333bacacbcba. 证 021bacbcbacb，由均值不等式，得313)1(1113cbcbcb，学...
