线性代数练习题汇总

1 行列式x x 1 0 1 2 x 3 2 x 3 2 中, x 的 3 次方的系数是多少 ? 1 1 2 x [答] 上述行列式中 x 的 3 次方的系数为 1. [分析 ] 根据行列式的定义 , 4 阶行列式写成和式后 , 通项为( 1)( j1 , j2 , j3 , j4 ) a a a a1 j1 2 j2 3 j3 4 j4其中 j1, j 2, j3, j 4 为 1, 2, 3, 4 的全排列 , ( j 1, j2, j 3, j4)表示排列 j1, j2, j 3, j4 的逆序数 . 注意到通项中的aij 取自不同的行和不同的列, 上述 4 阶行列式的展开式中只有( 1)( 2134)a12a21a33a44 = ( 1)1x1xx = x3这一项含有 x3, 其系数为1. 证明行列式a2 b2 c2 d 2 (a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(a 2)2(b 2)2(c 2)2(d 2)2(a 3)2(b 3)2(c 3)2(d 3)2= 0. a2 [证明 ] b2c2 d 2 a2 (把第一列的1 倍加到第四列 ) = b2 c2 d 2(b 1)2(c 1)2(d 1)2(b 2)2(c 2)2(d 2)26b 9 (把第二列的1 倍加到第三列 ) 6c 96d 9 a2 = b2c2 d 2(a 1)2(b 1)2(c 1)2(d 1)22a 3 6a 9 2b 3 6b 9 (最后两列成比例 ) = 0. 2c 3 6c 9 2d 3 6d 9 [解] 因为 , , 是方程 x3 + px + q = 0 的三个根 , 所以设 , , 是方程 x3 + px + q = 0 的三个根 , 则行列式的值是多少 ? (a 1)2 (a 2)2 (a 3)2(b 1)2 (b 2)2 (b 3)2(c 1)2 (c 2)2 (c 3)2(d 1)2 (d 2)2 (d 3)2(a 1)2 (a 2)2 6a 9 2 c d c a b d i1 3 = pq, 3 = pq, 3 = pq, 而且x3 + px + q = (x )(x )(x ) = x3 + ()x2 + (++)x + () 比较上式两端各项系数以及常数项得= 0, ++= p, = q. 于是利用 “对角线法则 ”可得= 3 + 3 + 3= ( pq) + ( pq) + ( pq) 3= p() 3(q + ) = 0. [另解 ] 因为 , , 是方程 x3 + px + q = 0 的三个根 , 所以+ += 0, 于是利用行列式的性质可得= 1 1 1 = ( + + ) = 0. 矩阵若 n 阶非零实数矩阵的转置和它的伴随相等, 怎么证明它可逆 ? [证明 ] 记 A 的转置为 AT, A 的伴随矩阵为 A*, A 的秩为 r(A). (1)当 n = 2 时, 设 A = a b , 则 A* = db , AT = a c .故由条件可得a = d, b = c, 而且 a, b 不全为0. 于是 |A| = ad bc = a2 + c2 > 0, 因而 A 可逆. ...