线性回归方程——非线性方程转化为线性方程

试卷第 1 页，总 6 页线性回归方程——非线性方程转化为线性方程例 1．(2015·高考全国卷 Ⅰ)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位： t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8 年的宣传费 ????和年销售量????(??= 1,2, ? ,8)数据作了初步处理， 得到下面的散点图及一些统计量的值 .?????????46.65636.8289.81.61469108.8表中 ????=√????，??? =18 ∑????8??=1，，I ）根据散点图判断，??= ??+ ????与??= ??+ ??√??，哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；，II ）根据（ I）的判断结果及表中数据，建立y 关于 x 的回归方程；（ III ）已知这种产品的年利润z 与 x，y 的关系为 ??= 0.2??- ??，根据（ II ）的结果回答下列问题：（ i）年宣传费 ??= 49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（ ii）年宣传费 ??为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(??1,??1) (??2,??2) ，⋯，(????,????) 其回归直线??= ??+ ????的斜率和截距的最小二乘估计分别为：???=∑(????-??)(????-??)????=1∑(????-??) 2????=1，???=??- ?????.【答案】 ( Ⅰ) ??= ??+ ??√??适宜作为年销售量??关于年宣传费 ??的回归方程类型； ( Ⅱ) ??? = 100.6 + 68 √??；( Ⅲ)(i)答案见解析； (ii)46.24千元 .【解析】（ I）由散点图可以判断，??= ??+ ??√??适宜作为年销售量??关于年宣传费 ??的回归方程类型.（II ）令 ??= √??，先建立 ??关于 ??的线性回归方程，由于???=∑(????-??)(????-??)8??=1∑(????-??) 28??=1=108.81.6 =68，∴???= ??- ?????=563-68 × 6.8=100.6，∴??关于 ??的线性回归方程为??? = 100.6 + 68??，因此 ??关于 ??的回归方程为 ??? = 100.6 + 68 √??.（III ）(ⅰ)由（ II ）知，当 ??=49 时，年销售量 ??的预报值 ??? = 100.6 + 68√49=576.6，年利润 z 的预报值为 ???= 576.6 ×0.2 -49 = 66.32 . ，ⅱ）根据（ II ）的结果知，年利润z 的预报值 ???= 0.2(100.6 + 68√??)-??= -?? + 13.6 √??+ 20.12 ，所以当 √??=13.62= 6.8，即 ??= 46.24 时， ???取 得最大值 .故年宣传费为46.24 千元时，年利润的预报值最大.试卷第 2 页，总 6 页例 2．某地级市共有200000 中小学生，...