“凸透镜成像的数学模型”-------凸透镜数据成像基本原理的探究简介：本文突破了传统透镜成像作图法的羁绊，改模拟的、近似的定性分析方法为定量的精确的分析方法。通过在坐标系中深入探究“线段的凸透镜成像”规律,创建了全新的“凸透镜成像数学模型”。它可精确确定每一像点的位置及“无穷远”的方位。一切物体都可以“凸透镜成像数学模型”绘制出“数据光路图”，得到该物体的凸透镜精确成像。从而为进一步创建“空间物体凸透镜数据成像”奠定基础。可广泛应用于复合透镜设计与误差分析、精密光学仪器的研究、制造。并提供可靠数据和理论依据。关键词：凸透镜成像数学模型精确数据光路图数据成像一．目的:在几何光学的学习中，每当讨论物体的凸透镜成像，必然要使用“透镜成像作图法”。然而实践证明，当两条特征光线接近平行时，用这作图方法根本无法确定交点的位置。另外，实际生活中见到的都是有形状、大小的真实物体，当真实物体从无穷远处经过2f、f移至镜面时，其凸透镜所成之像如何变化？尤其是经过界面f时究竟是如何发散的，能否画出它的影像？我们的目的就是要找出描绘真实物体凸透镜成像的有效方法，精确确定它的位置。二.方法、步骤:1.应用“凸透镜成像的基本原理”,也就是体现理想凸透镜光学本质的三条特征光线。2.思路：1)任何复杂物体都可以用相对比较简单的几何图形来“逼近”。例如,球体可用正多面体来逼近。增加它的面数,即可提高它的精度。圆形可用正多边来逼近···2）三维空间的物体可用正投影的方法,先将它投影到平面上。再用平面的凸透镜成像方法确定其三维空间的像的位置。3)平面几何图形的凸透镜成像问题可归结为线段的凸透镜成像:在同一光路图中分别画出组成该几何图形的所有线段的光路图,即可得到整个几何图形的凸透镜成像。3.重点是要借助于数学方法“非线性变换”，实现精确定位。三．凸透镜成像数学模型的建立:透镜成像作图法误差太大。为精确定位物点（光点）的凸透镜成像位置，我们建立数学模型：首先，假设透镜为理想透镜。即1.透镜相对于物体足够大。2.透镜足够薄，以至于可以认为厚度为零。3.具有凸透镜三条特征光线的基本性质。4.不考虑色散。将一光点从无穷远S0以平行于光軸的方式移至凸透镜表面Sn，对其成像轨迹进行分析。建立直角坐标系。把透镜光心放在坐标原点O,光軸与OX軸重合。参考图1.设透镜焦距为f，物点S0的坐标为(X0,Y0),X0的范国从负无穷到0;其像点的坐标为(X,Y)。设像点与光心(即原点)连线的方程为Y=KX，由通过光心光线的基本性质，其对应的物点也必在此直线上,故K=Y0/X0所以得连线方程为Y=Y0*X/X0(1)由平行于光轴光线的基本性质，物点凸透镜成像轨迹为过焦点的一直线。直线斜率为–Y0/f，截距为Y0。所以此直线方程为Y=-Y0*X/f+Y0(2)则物点S对应像点S'的位置必须由方程(1)、(2)决定。解之……得X=X0*f/(X0+f)(3)Y=Y0*f/(X0+f)(4)结论:对任何物点S，只要已知它的坐标(X0,Y0),其像的位置（X,Y）便可由公式(3)、(4)唯一确定，并精确计算出来。此结果被称之为“凸透镜成像数学模型”。图1四．讨论：1.“凸透镜成像数学模型”公式证明了:当物点从无穷远S0平移移至镜面Sn时，其像为一“直线”。它从焦点F’出发，延直线SnF’经S5’、S7’移至无穷远S9’，然后再从直线SnF’的另一端的S9’经S11’返还到点Sn。此“直线”中间断开、两端发散，方程为Y=-Y0*X/f+Y0。如图1。例1:用公式（3）、（4）计算并分析物点从无穷远移至镜面，其像的坐标位置及大小变化。1）当物点S在高度为Y0的无穷远处S0时,其像S0'的位置为X=X0*f/(X0+f)=f/(1+f/X0)=f(当X0=-∞时,f/X0趋于0)Y=Y0*f/(X0+f)=0(当X0=-∞时,Y0*f/(X0+f)趋于0)即S0'的坐标为(f,0),它的像就是焦点F’。2)当物点S在S3(-4f,Y0)时,X=-4f*f/(-4f+f)=4f/3Y=Y0*f/(-4f+f)=-Y0/3像点S3'的坐标为(4f/3,-Y0/3)。若把它看成一蜡烛，其像则为一缩小三倍的倒立实像。3)同理可以算得,对物点S5(-2f,Y0)有像点S5'(2f,-Y0)。其像为等高倒立实像。4)物点S7(-3f/2,Y0)有像点S7'(3f,-2Y0)。为放大二倍的倒立实像。5)当物点S在S9(-f,Y0)时,像点S9'的坐标为X=-f*f/(-f+f)=-∞Y=Y0*f/(-f+f)=+∞像点被定位在直...
