高等数学部分易混淆概念第一章：函数与极限一、数列极限大小的判断例 1：判断命题是否正确．若()nnxynN ，且序列,nnxy 的极限存在， lim,lim,nnnnxAyBAB则解答：不正确．在题设下只能保证AB，不能保证 AB．例如：11,1nnxynn，,nnxyn ，而 limlim0nnnnxy．例 2．选择题设nnnxzy ，且 lim()0,limnnnnnyxz则（）A．存在且等于零B. 存在但不一定等于零C．不一定存在D. 一定不存在答：选项 C 正确分析：若 limlim0nnnnxya，由夹逼定理可得lim0nnza，故不选 A 与 D. 取11( 1),( 1),( 1)nnnnnnxyznn，则nnnxzy ，且 lim()0nnnyx，但 limnnz不存在，所以 B 选项不正确，因此选C．例 3．设,nnxay且 lim()0,{}{}nnnnnyxxy则与（）A．都收敛于 aB. 都收敛，但不一定收敛于aC．可能收敛，也可能发散D. 都发散答：选项 A 正确．分析：由于,nnxay，得 0nnnaxyx ，又由 lim()0nnnyx及夹逼定理得lim()0nnax因此， limnnxa ，再利用 lim()0nnnyx得 limnnya．所以选项 A．二、无界与无穷大无界：设函数( )f x 的定义域为 D ，如果存在正数 M ，使得( )f xMxXD则称函数( )f x 在 X 上有界，如果这样的M 不存在，就成函数( )f x 在 X 上无界；也就是说如果对于任何正数M ，总存在1xX ，使1()f xM ，那么函数( )f x 在 X上无界．无穷大：设函数( )f x 在0x 的某一去心邻域内有定义（或x 大于某一正数时有定义）．如果对于任意给定的正数M （不论它多么大），总存在正数（或正数X ），只要 x适合不等式00xx（或 xX ），对应的函数值( )f x 总满足不等式( )f xM则称函数( )f x 为当0xx （或 x）时的无穷大．例 4：下列叙述正确的是：②① 如果( )f x 在0x 某邻域内无界，则0lim( )xx f x② 如果0lim( )xx f x，则( )f x 在0x 某邻域内无界解析：举反例说明．设11( )sinf xxx ，令11,,22nnxynn，当 n时，0,0nnxy，而lim()lim (2)2nnnf xnlim()0nnf y故( )f x 在0x邻域无界，但0x时( )f x 不是无穷大量，则①不正确．由定义，无穷大必无界，故②正确．结论：无穷大必无界，而无界未必无穷大．三、函数极限不存在极限是无穷大当0xx （或 x）时的无穷大的函数( )f x ，按函数极限定义来说，极限是不存在的，但是为了便于叙述函数的性态， 我们也说“函数的极限是无穷大” ．但极限不存在并不代表其极限是无穷大．例 5：函数10( )0010xxf ...
