建 筑 与 数 学 秦佑国 一、数学的定义和发展 “数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”（恩格斯《反杜林论》）。恩格斯在论述数学是现实世界的反映，产生于人类的实际需要的同时也指出：“这些材料表现于非常抽象的形式之中”。一百多年来现代数学的发展，一方面使数学具有更高的抽象程度，另一方面数学对象的推广已经越出了对数量关系和空间形式传统的理解范围，数学不仅研究直接从现实世界抽象出来的数量关系和空间形式，而且研究那些运用数学已经形成的概念和理论为基础定义和推理演绎出来的关系和形式。因此，可以把客观世界和主观世界中的数量关系和结构关系作为数学的对象，空间形式被看作是结构关系的一个方面。 数学的历史发展通常划分成初等数学、高等数学和现代数学三个阶段。公元前7～ 5 世纪以前，人类发展漫长的历史时期是数学的萌芽阶段，公元前5 世纪至公元17 世纪为初等数学阶段；从17 世纪初到19 世纪末为高等数学阶段，从19 世纪末开始数学进入现代数学阶段。 在初等数学阶段，数学的对象是常量和简单几何形体。这个时期数学的基本成果：初等代数和欧几里德几何（初等几何）成为现在中学数学课程的主要内容。 高等数学阶段，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析几何同时还产生了几何的另一分支一一一射影几何，并产生了数学的重要的新领域一概率论。 高等数学阶段，以笛卡尔建立解析几何为起点，微积分的建立是这一阶段最显赫的成就和标志。高等数学的对象是变量及其函数。研究变量和函数的数学领域称为分析。在这时期，与解析几何同时还产生了几何的另一分支一一一射影几何，并产生了数学的重要的新领域一概率论。 现代数学阶段以康托尔建立集合论为起点。2O 世纪以后用公理化体系和结构观念来统观数学成为现代数学的明显标志。现代数学的对象是一般的集合和各种抽象的逻辑上可能的形式和关系。现代数学阶段以其三大基础领域一一一几何、代数和分析中的深刻变化作为开端。非欧几何的产生和多维空间概念的形成，使 “空间”这个概念已经超越了物质世界现实空间的含义，获得了新的更广泛的意义。代数的对象从传统的数扩展到具有更为普遍性质的量以至结构和系统，如向量、矩阵、群、环、域、线性空间等。数学分析的对象从变量扩展到变化的函数，从变量空间扩展到函数空间。...
