环同态基本定理VIP专享VIP免费

目录后页返回1前页三、环同态基本定理定理3.5.3定理3.5.1定理3.5.2例3例4§3.5环的同态一、环的同态定义3.5.1---同态例1例2二、环同态的一些性质例5定理3.5.4---环同态基本定理例6四、环的扩张定理定义3.5.2---核例7例8定理3.5.5---环的扩张定理例9目录后页返回2前页一、环的同态定义3.5.1设和为两个环,是集合到的R'RR'R映射.如果对任意的,有,abR()()()abab以及()()()abab则称为环到环的一个同态映射（homomorphism）,R'R简称同态.目录后页返回3前页由定义可知,环同态就是环之间保持运算的映射.又如果同态映射是单映射,则称为单同态(monomorphism);如果是满映射,则称为满同态(epimorphism),此时,称环与同态,记作：R'R;如果既是单同态,又是满同态,则称为:~'RR同构(isomorphism).此时,称环与同构,记作:R'R.与群的相应概念类似,环的同构是环之间的:'RR一个等价关系,并且同构的环有完全相同的代数性质.目录后页返回4前页例１设与是两个环.对任意的,令R'RaR:'0.RRa则对任意的,,abR()0()()abab()0()()abab所以是到的一个同态.这个同态称为零同态(zeroR'Rhomomorphism).目录后页返回5前页例2设,.对任意的,令RZ'mRZaZ:.maaZZ则为到的满映射.又对任意的,ZmZ,abZ()()()abababab()()()abababab从而为到的满同态.ZmZ目录后页返回6前页例3设是环，是的理想.对任意的,令RIRaR:/.RRIaa则为到它的商环的满映射.又对任意的,R/RI,abR()()()abababab()()()abababab所以为到它的商环的一个满同态.这个同态称R/RI为自然同态(naturalhomomorphism).目录后页返回7前页二、环同态的一些简单性质定理3.5.1设为环到环的同态,则R'R(1).（为中零元，为中零元）'(0)0RR0RR'0R'R(2)，.()()nananaRZ,(3)，.()(())nnaanN（按定义即可证）目录后页返回8前页定理3.5.2设与都是有单位元的环，与分R'Re'e别是它们的单位元,是到的环同态.R'R(1)如果是满同态,则;()'ee(2)如果为无零因子环,且,则'R()0e()';eeu(3)如果,则对的任一单位,是()'eeR()u'R的单位,且.11(())()uu证(1)对任意的,因是满映射,所以存''aR目录后页返回9前页在,使.则aR()'aa()'()()()()'eaeaeaaa'()()()()()'aeaeaeaa因此,是单位元,由单位元的惟一性得.()e()'ee(2)令,则,从而'()re'0r'''()()()()'()rereeeeere因为无零因子,所以消去律成立.在上式两边消去'R'r得.()'ee目录后页返回10前页(3)设为的任一单位,则uR11'()()()()eeuuuu11'()()()()eeuuuu所以是的单位,且.□()u'R11(())()uu目录后页返回11前页三、环同态基本定理定义3.5.2设为环到环的同态映射.称集合R'R{|()0}KaRa为环同态的核(kernel),记作:.Ker目录后页返回12前页定理3.5.3设为环到环的环同态,则R'RKer为的理想.R证对任意的,,有,KerabrR()()()000abab()()()()00rarar()()()0()0ararr则,所以为的理想.□,,KerabraarKerR目录后页返回13前页例4对于本节例1、例2、例3中的环同态、和,它们的核分别是，，及．KerRKermKerI目录后页返回14前页例5设,,[]RxQ'[2]{2|,}RababQQ令:[][2]()(2).xfxfQQ则为到的满同态,并且[]xQ[2]Q22Ker{(2)()|()[]}2xgxgxxxQ证(1)对任意的,存在,()[]fxxQ()[]qxxQ,使,abQ2()(2)()fxxqxabx目录后页返回15前页则2(2)(22)(2)22[2]fqababQ所以为到的映射.[]xQ[2]Q(2)对任意的,(),()[]fxgxxQ(()())(2)(2)(())(())fxgxfgfxgx(()())(2)(2)(())(())fxgxfgfxgx所以为到的环同态.[]xQ[2]Q(3)对任意的,有使2[2]abQ[]abxxQ目录后页返回16前页()2.abxab所以为到的...