数值分析方法(讲义)

第十章 数值分析方法 在生产实际中，常常要处理由实验或测量所得到的一批离散数据，数值分析中的插值与拟合方法就是要通过这些数据去确定某一类已经函数的参数，或寻求某个近似函数使之与已知数据有较高的拟合精度。插值与拟合的方法很多，这里主要介绍线性插值方法、多项式插值方法和样条插值方法，以及最小二乘拟合方法在实际问题中的应用。相应的理论和算法是数值分析的内容，这里不作详细介绍。 §1 数据插值方法及应用 在生产实践和科学研究中，常常有这样的问题：由实验或测量得到变量间的一批离散样点，要求由此建立变量之间的函数关系或得到样点之外的数据。与此有关的一类问题是当原始数据),(,),,(),,(1100nn yxyxyx精度较高，要求确定一个初等函数 )(xPy （一般用多项式或分段多项式函数）通过已知各数据点（节点），即nixPyii,,1,0,)(，或要求得函数在另外一些点（插值点）处的数值，这便是插值问题。 1、分段线性插值 这是最通俗的一种方法，直观上就是将各数据点用折线连接起来。如果 bxxxan 10 那么分段线性插值公式为 nixxxyxxxxyxxxxxPiiiiiiiiii,,2,1,,)(11111 可以证明，当分点足够细时，分段线性插值是收敛的。其缺点是不能形成一条光滑曲线。 例 1 、已知欧洲一个国家的地图，为了算出它的国土面积，对地图作了如下测量：以由西向东方向为 x轴，由南向北方向为 y轴，选择方便的原点，并将从最西边界点到最东边界点在x轴上的区间适当的分为若干段，在每个分点的y方向测出南边界点和北边界点的y坐标 y1 和 y2，这样就得到下表的数据（单位：mm）。 x 7.0 10.5 13.0 17.5 34.0 40.5 44.5 48.0 56.0 y1 44 45 47 50 50 38 30 30 34 y2 44 59 70 72 93 100 110 110 110 x 61.0 68.5 76.5 80.5 91.0 96.0 101.0 104.0 106.5 y1 36 34 41 45 46 43 37 33 28 y2 117 118 116 118 118 121 124 121 121 x 111.5 118.0 123.5 136.5 142.0 146.0 150.0 157.0 158.0 y1 32 65 55 54 52 50 66 66 68 y2 121 122 116 83 81 82 86 85 68 根据地图的比例，18 mm 相当于 40 km。 根据测量数据，利用MATLAB 软件对上下边界进行线性多项式插值，分别求出上边界函数)(2 xf，下边界函数)(1 xf，利用求平面图形面积的数值积分方法—将该面积近似分成若干个小长方形...