第七章非线性方程求根 （一）问题简介 求单变量函数方程 ( )0fx (7.1) 的根是指求*x （实数或复数），使得( *)0fx.称*x为方程(7.1)的根,也称*x为函数( )fx的零点.若( )fx 可以分解为 ()(* )(mfxxxgx 其中 m 为正整数,( )g x 满足( )0g x ,则*x是方程(7.1)的根.当 m =1 时,称*x为单根;当 m >1时,称*x为 m 重根.若( )g x 充分光滑,*x是方程(7.1)的 m 重根,则有 (1)()( *)'( *)...( *)0,( *)0mmfxfxfxfx 若( )fx 在[a,b]上连续且( )( )0f af b ,则方程(7.1)在(a,b)内至少有一个实根,称[a,b]为方程(7.1)的有根区间.有根区间可通过函数作图法或逐次搜索法求得. (二)方程求根的几种常用方法 1.二分法 设( )fx 在[a,b]上连续,( )( )0f af b ,则( )0fx 在(a,b)内有根*x.再设( )0fx 在(a,b)内仅有一个根.令00,aa bb,计算0001 ()2xab和0()fx.若0()0fx则 *xx,结束计算;若00()()0f afx,则令10 ,1ax bb,得新的有根区间11[,]ab;若00()()0f afx,则令10 ,10aa bx, 得 新 的 有 根区 间11[,]ab.0011[,][,]abab,11001 ()2baba. 再 令1111 ()2xab计算1()fx,同上法得出新的有根区间22[,]ab,如此反复进行,可得一有根区间套 1100...[,][,]...[,]nnnnababab 且110011*,0,1, 2,...,()...()22nnnnnnaxbnbababa. 故 1lim ()0, limlim()*2nnnnnnnnbaxabx 因此,1 ()2nnnxab可作为( )0fx 的近似根,且有误差估计 11|* |()2nnxxba (7.2) 2.迭代法 将方程式(7.1)等价变形为 ( )xx (7.3) 若要求*x满足( *)0fx则*( *)xx;反之亦然.称*x为函数( )x的一个不动点.求方程(7.1)的根等价于求( )x的不动点由式(7.3)产生的不动点迭代关系式(也称简单迭代法)为 1() ,0 , 1 , 2 . . .kkxxk (7.4) 函数( )x称为迭代函数.如果对任意1(),0,1, 2...kkxxk ,由式(7.4)产生的序列 kx有极限 lim*kkxx 则称不动点迭代法(7.4)收敛. 定理 7.1(不动点存在性定理)设( )[ , ]xC a b满足以下两个条件: 1.对任意[ , ]xa b有( );axb 2.存在正常数1L ,使对任意 ,[ , ]x ya b,都有| ( )( ) |||xyxy (7.5) 则( )x在[ , ]a...
