数值分析第五版考试总结

第一章：数值分析与科学计算引论 截断误差：近似解与精确解之间的误差。 近似值的误差ᵅ∗（ᵆ为准确值）： ᵅ∗ = ᵆ∗ − ᵆ 近似值的误差限ᵰ∗： |ᵆ∗ − ᵆ | ≤ ᵰ∗ 近似值相对误差ᵅᵅ∗（ᵅᵅ∗较小时约等）： ᵅᵅ∗ = ᵅ∗ᵆ ≈ ᵅ∗ᵆ∗ 近似值相对误差限ᵰᵅ∗： ᵰᵅ∗ = ᵰ∗|ᵆ∗| 函数值的误差限ᵰ∗(ᵅ(ᵆ∗))： ᵰ∗(ᵅ(ᵆ∗)) ≈ |ᵅ′(ᵆ∗)| ᵰ∗(ᵆ∗) 近似值ᵆ∗ = ±(ᵄ1.ᵄ2ᵄ3 ⋯ ᵄᵅ) × 10ᵅ有 n 位有效数字： ᵰ∗ = 12 × 10ᵅ−ᵅ+1 ᵰᵅ∗ = ᵰ∗|ᵆ∗| ≤ 12ᵄ1× 10−ᵅ+1 第二章：插值法 1.多项式插值 ᵄ(ᵆ) = ᵄ0 +ᵄ1ᵆ +⋯ +ᵄᵅᵆᵅ 其中： ᵄ(ᵆᵅ) = ᵆᵅ , ᵅ = 0,1,⋯ , ᵅ { ᵄ0 +ᵄ1ᵆ0 +⋯ +ᵄᵅᵆ0ᵅ = ᵆ0ᵄ0 +ᵄ1ᵆ1 +⋯ +ᵄᵅᵆ1ᵅ = ᵆ1⋮ᵄ0 +ᵄ1ᵆᵅ +⋯ +ᵄᵅᵆᵅᵅ = ᵆᵅ 2.拉格朗日插值 ᵃᵅ(x) = ∑ ᵆᵅᵅᵅ(ᵆ)ᵅᵅ=0= ∑ ᵆᵅᵱ ᵅ+1(ᵆ)(ᵆ − ᵆᵅ)ᵱ ᵅ+1′(ᵆᵅ)ᵅᵅ=0 ᵅ次插值基函数： ᵅᵅ(ᵆ) =(ᵆ − ᵆ0) ⋯ (ᵆ − ᵆᵅ−1)(ᵆ − ᵆᵅ+1) ⋯ (ᵆ − ᵆᵅ)(ᵆᵅ − ᵆ0) ⋯ (ᵆᵅ − ᵆᵅ−1)(ᵆᵅ − ᵆᵅ+1) ⋯ (ᵆᵅ − ᵆᵅ) , ᵅ = 0,1,⋯ , ᵅ 引入记号： ᵱᵅ+1(ᵆ) = (ᵆ − ᵆ0)(ᵆ − ᵆ1) ⋯ (ᵆ − ᵆᵅ) 余项： ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵆ) − ᵃᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵅ+1)(ᵰ)(ᵅ+1)! ᵱᵅ+1(ᵆ) , ᵰ ∈ (ᵄ, ᵄ) 3.牛顿插值多项式： ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ(ᵆ0) +ᵅ[ᵆ0,ᵆ1](ᵆ − ᵆ0) +⋯ +ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, ⋯ , ᵆᵅ](ᵆ − ᵆ0) ⋯ (ᵆ − ᵆᵅ−1) ᵅ阶均差（把中间去掉，分别填在左边和右边）： ᵅ[ᵆ0, ᵆ1, ⋯ , ᵆᵅ−1, ᵆᵅ] = ᵅ[ᵆ1, ⋯ , ᵆᵅ−1, ᵆᵅ] − ᵅ[ᵆ0,ᵆ1, ⋯ , ᵆᵅ−1]ᵆᵅ − ᵆ0 余项： ᵄᵅ(ᵆ) = ᵅ[ᵆ, ᵆ0, ᵆ1, ⋯ , ᵆᵅ]ᵱᵅ+1(ᵆ) 4.牛顿前插公式（令ᵆ = ᵆ0 +ᵆℎ，计算点值，不是多项式）： ᵄᵅ(ᵆ0 +ᵆℎ) = ᵅ0 +ᵆ∆ᵅ0 +ᵆ(ᵆ − 1)2!∆2ᵅ0 +⋯ +ᵆ(ᵆ − 1)⋯ (ᵆ − ᵅ − 1)ᵅ!∆ᵅᵅ0 ᵅ阶差分： ∆ᵅᵅ0 = ∆ᵅ−1ᵅ1 − ∆ᵅ−1ᵅ0 余项： ᵄᵅ(ᵆ) = ᵆ(ᵆ − 1) ⋯ (ᵆ − ᵅ)ℎᵅ+1(ᵅ +1)!ᵅ(ᵅ+1)(ᵰ) ,ᵰ ∈ (ᵆ0,ᵆᵅ) 5.泰勒插值多项式： ᵄᵅ(ᵆ)...