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数分高代定理大全 《高等代数》 第一章 带余除法 对于 [ ]P x 中任意两个多项式( )f x 与 ( )g x ，其中 ( )0g x ，一定有 [ ]P x中的多项式 ( ), ( )q x r x 存在，使( )( ) ( )( )f xq x g xr x成立，其中 ( ( ))( ( ))r xg x 或者 ( )0r x ，并且这样的 ( ), ( )q x r x 是唯一决定的. 定理 1 对于数域 P 上的任意两个多项式( ), ( )f x g x ，其中 ( )0, ( ) | ( )g xg xf x的充分必要条件是( )g x 除( )f x 的余式为零. 定理 2 对于 [ ]P x 中任意两个多项式( )f x ， ( )g x ，在 [ ]P x 中存在一个最大公因式( )d x ，且 ( )d x 可以表示成( )f x ， ( )g x 的一个组合，即有 [ ]P x 中多项式 ( ), ( )u x v x使 ( )( ) ( )( ) ( )d xu x f xv x g x. 定理 3 [ ]P x 中两个多项式( )f x ， ( )g x 互素的充分必要条件是有 [ ]P x 中的多项式( ), ( )u x v x 使 ( ) ( )( ) ( )1u x f xv x g x . 定理 4 如果( ( ), ( ))1f x g x ，且( ) | ( ) ( )f xg x h x ，那么( ) | ( )f xh x . 定理 5 如果( )p x 是不可约多项式，那么对于任意的两个多项式( ), ( )f x g x ，由( ) | ( ) ( )p xf x g x 一定推出 ( ) | ( )p xf x 或者 ( ) | ( )p xg x . 因式分解及唯一性定理 数域 P 上每一个次数 1 的多项式( )f x 都可以唯一地分解成数域 P 上一些不可约多项式的乘积.所谓唯一性是说，如果有两个分解式1212( )( )( )( )( )( )( ),stf xp x pxp xq x qxq x那么必有 st ，并且适当排列因式的次序后有( )( ),1,2,, ,iiip xc q x is其中(1,2,, )ic is是一些非零常数. 定理 6 如果不可约多项式( )p x 是( )f x 的k 重因式(1)k ，那么它是微商( )fx的1k  重因式. 定理 7（余数定理） 用一次多项式x去除多项式( )f x ，所得的余式是一个常数，这个常数等于函数值 ( )f  . 定理 8 [ ]P x 中 n 次多项式(0)n 在数域 P 中的根不可能多于 n 个，重根按重数计算. 定理 9 如果多项式( )f x ，( )g x 的次数都不超过 n ，而它们对1n  个...