数列极限的例题和习题

第1-7 节 数列极限的例题和习题 下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题，初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的，能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此，你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少，都暂时不会影响到你学习微积分)，有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它，你会在做题方法上受到严格的训练. 称一个数列),2,1(nxn为无穷小量，即lim0nnx，用“N ”说法，就是它满足条件： 任意给定正数 ，都有对应的正整数)(NN ，当Nn 时，| |nx. 称一个数列),2,1(nxn为无穷大量，即limnnx  ，用“MN”说法，就是它满足条件： 任意给定正数M ，都有对应的正整数)(MNN ，当Nn 时，Mxn ||. 特别，limnnx  ，就是它满足条件： 任意给定正数M ，都有对应的正整数)(MNN ，使当Nn 时，Mxn . 而limnnx  ，就是它满足条件： 任意给定正数M ，都有对应的正整数)(MNN ，使当Nn 时，Mxn. 无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念，即当0 (1,2,)nxn时， 若nx 是无穷大量，则 1nx 是无穷小量；若nx 是无穷小量，则 1nx 是无穷大量. 在第 0 章(看我做题)中，那些有关数列极限的习题，如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话，那么下面这些结论，就必须用“N”说法才能够证明.你看一看其中的证明，可以学习到如何用“N”说法做数列极限证明题的方法. 例1 设有数列),2,1(nxn.证明：若有极限nnxlim，则算术平均值的数列 12(1,2,)nnxxxynn 也有极限且12limlimnnnnxxxxn. 证 设limnnxa. 考虑 1212()()()nnnxxxxaxaxayaann 任意给定正数 . 因为limnnxa，所以有正整数1N 使1||()2nxanN. 于是， 第1 章 函数的极限和连续函数 25 25 1212()()()nnnxxxxaxaxayaann 11121()()()()()NNnxaxaxaxaxan 11211()()()(1)2NxaxaxanNnn 1121()()()2Nxaxaxan 再取正整数1NN 足够大，使当Nn 时，右边第一项也小于2. 这样，当Nn 时，就会有||22nya，即证明了有极限 12limlimnnnnxxxaxn 请注意．．．：有极限12limnnxxxn，不一定有极...