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数列极限的例题和习题

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第1-7 节 数列极限的例题和习题 下面的例题和习题都是数列极限理论中的著名习题,初学者能够完全读懂其中例题的证明是不容易的,能够独立完成后面那些习题就更不容易.因此,你可以先粗读一下(因为不管你读懂多少,都暂时不会影响到你学习微积分),有兴趣的读者等有空时或假期中再去细读它.读一读它,你会在做题方法上受到严格的训练. 称一个数列),2,1(nxn为无穷小量,即lim0nnx,用“N ”说法,就是它满足条件: 任意给定正数 ,都有对应的正整数)(NN ,当Nn 时,| |nx. 称一个数列),2,1(nxn为无穷大量,即limnnx  ,用“MN”说法,就是它满足条件: 任意给定正数M ,都有对应的正整数)(MNN ,当Nn 时,Mxn ||. 特别,limnnx  ,就是它满足条件: 任意给定正数M ,都有对应的正整数)(MNN ,使当Nn 时,Mxn . 而limnnx  ,就是它满足条件: 任意给定正数M ,都有对应的正整数)(MNN ,使当Nn 时,Mxn. 无穷大量与无穷小量是两个对偶的概念,即当0 (1,2,)nxn时, 若nx 是无穷大量,则 1nx 是无穷小量;若nx 是无穷小量,则 1nx 是无穷大量. 在第 0 章(看我做题)中,那些有关数列极限的习题,如果说可以凭借直觉和四则运算规则能够做出来的话,那么下面这些结论,就必须用“N”说法才能够证明.你看一看其中的证明,可以学习到如何用“N”说法做数列极限证明题的方法. 例1 设有数列),2,1(nxn.证明:若有极限nnxlim,则算术平均值的数列 12(1,2,)nnxxxynn 也有极限且12limlimnnnnxxxxn. 证 设limnnxa. 考虑 1212()()()nnnxxxxaxaxayaann 任意给定正数 . 因为limnnxa,所以有正整数1N 使1||()2nxanN. 于是, 第1 章 函数的极限和连续函数 25 25 1212()()()nnnxxxxaxaxayaann 11121()()()()()NNnxaxaxaxaxan 11211()()()(1)2NxaxaxanNnn 1121()()()2Nxaxaxan 再取正整数1NN 足够大,使当Nn 时,右边第一项也小于2. 这样,当Nn 时,就会有||22nya,即证明了有极限 12limlimnnnnxxxaxn 请注意...:有极限12limnnxxxn,不一定有极...

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