数列求和的8种常用方法

1 求数列前n 项和的8 种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22nnn aan nSnad 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)kkSka，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q ， 1nSna； （2）1q ，1 11nnaqSq，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1nkk12123(1)nn n； （2）21nkk222211631123(1)(21)()(1)2nn nnn nn； （3）31nkk33332(1)2123[]n nn； （4）1(21)nkk21 35(21)nn . 例1 已知3log1log23x，求23nxxxx的前n 项和. 解：由212loglog3log1log3323xxx 由等比数列求和公式得 23nnSxxxx ＝xxxn1)1(＝211)211(21n ＝1－n21 例2 设123nSn ，*nN,求1)32()(nnSnSnf的最大值. 解：易知 )1(21nnSn， )2)(1(211nnSn ∴ 1)32()(nnSnSnf＝64342nnn ＝nn64341＝50)8(12 nn501 ∴ 当 88n，即8n 时，501)(maxnf. 二.倒序相加法:如果一个数列 na，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是 2 将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个 )(1naa . 例3 求89sin88sin3sin2sin1sin22222的值 解：设89sin88sin3sin2sin1sin22222S…………① 将①式右边反序得 1sin2sin3sin88sin89sin22222S…………② （反序） 又因为 1cossin),90cos(sin22xxxx ①+②得 （反序相加） )89cos89(sin)2cos2(sin)1cos1(sin2222222S＝89 ∴ S＝44.5 例4 函数 1xf xx ，求   1111220121201220112fffffff的值. 三.错位相减法：适用于差比数列（如果 na等差， nb等比，那么nnab叫做差比数列）即把每一项都乘以 nb的公比 q ，向后错一项，再对应同次项相减，即可转...