数列求和的常用方法

1 数列求和的常用方法 永 德 二 中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2)1(2)(11dnnnaaanSnn 2、等比数列的前n 项和公式 )1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 nnnkSnkn （2）、)12)(1(61321222212 nnnnkSnkn （3）、2333313)]1(21[321 nnnkSnkn 第二类：乘公比错项相减（等差等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列 }{nnba 的前n项和，其中}{na，}{nb分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1nnq(q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则nS =0 Ⅱ、若q =1，则)1(21321nnnSn Ⅲ、若q ≠0 且q ≠1， 则12321nnnqqqS ① nnnqqqqqS32 32 ② ①式—②式：nnnnqqqqqSq1321)1( 2 )1(11132nnnnqqqqqqS )11(11nnnnqqqqS qnqqqSnnn1)1(12 综上所述：)10(1)1(1)1)(1(21)0(02qqqnqqqqnnqSnnn且 解析：数列}{1nnq是由数列 n 与 1nq对应项的积构成的，此类型的才适应错位相减，（课本中的的等比数列前n 项和公式就是用这种方法推导出来的），但要注意应按以上三种情况进行分类讨论，最后再综合成三种情况。 第三类：裂项相消法 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。 裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的通项分解（裂项）如： 1、乘积形式，如： （1）、111)1(1nnnnan （2）、)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan （3）、])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan （4）、nnnnnnnnSnnnnnnnnna2)1(11,2)1(12121)1()1(221)1(21则 2、根式形式，如...