无穷级数总结

无穷级数总结 一、概念与性质 1. 定义：对数列12,,,nu uu，1nnu称为无穷级数，nu 称为一般项；若部分和 数列{ }nS有极限S ，即limnnSS，称级数收敛，否则称为发散. 2. 性质 ①设常数0c，则1nnu 与1nncu 有相同的敛散性； ②设有两个级数1nnu 与1nnv ，若1nnsu，1nnv，则1)(nnnsvu ； 若1nnu 收敛，1nnv 发散，则1)(nnnvu发散； 若1nnu ，1nnv 均发散，则1)(nnnvu敛散性不确定； ③添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性； ④设级数1nnu 收敛，则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级数的和． 注：①一个级数加括号后所得新级数发散，则原级数发散； ②一个级数加括号后收敛，原级数敛散性不确定． ⑤级数1nnu 收敛的必要条件： 0limnnu； 注：①级数收敛的必要条件，常用判别级数发散； ②若 0limnnu，则1nnu 未必收敛； ③若1nnu 发散，则 0limnnu未必成立． 二、常数项级数审敛法 1. 正项级数及其审敛法 ① 定义：若0nu ，则1nnu 称为正项级数. ② 审敛法： （i） 充要条件：正项级数1nnu 收敛的充分必要条件是其部分和数列有界. （ii） 比较审敛法：设1nnu ①与1nnv ②都是正项级数，且(1,2,)nnuv n，则若②收敛则①收敛；若①发散则②发散 . A. 若②收敛，且存在自然数 N ，使得当 nN时有(0)nnukv k成立，则①收敛；若②发散，且存在自然数 N ，使得当 nN时有(0)nnukv k成立，则①发散； B. 设1nnu 为正项级数，若有1p  使得1 (1,2,)npunn，则1nnu 收敛；若1 (1,2,)nunn，则1nnu 发散. C. 极限形式：设1nnu ①与1nnv ②都是正项级数，若lim(0)nnnullv   ，则 1nnu 与1nnv 有相同的敛散性. 注：常用的比较级数： ①几何级数：11111nnrrraar发散； ②p级数：1111npppn时发散时收敛； ③ 调和级数：112111nnn发散． （iii）比值判别法（达郎贝尔判别法）设1nna 是正项级数，若 ①1lim1raannn，则1nna 收敛；②1lim1raannn，则1nna 发散...