无穷级数知识点汇总

无穷级数知识点汇总 一、数项级数 （一）数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件：收敛级数的一般项必趋于 0. 2.收敛的充要条件（柯西收敛原理）：对任意给定的正数 ，总存在 N 使得对于任何两个 N大于的正整数m 和 n，总有nmSS.（即部分和数列收敛） 3.收敛级数具有线性性（即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛），而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛，且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. （二）数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 （1）正项级数基本定理：如果正项级数的部分和数列有上界，则正项级数收敛. （2）比较判别法（放缩法）：若两个正项级数1nnu 和1nnv 之间自某项以后成立着关系：存在常数0c，使),2,1(ncvunn，那么 （i）当级数1nnv 收敛时，级数1nnu 亦收敛； （ii）当级数1nnu 发散时，级数1nnv 亦发散. 推论：设两个正项级数1nnu 和1nnv ，且自某项以后有nnnnvvuu11 ，那么 （i）当级数1nnv 收敛时，级数1nnu 亦收敛； （ii）当级数1nnu 发散时，级数1nnv 亦发散. （3）比较判别法的极限形式（比阶法）：给定两个正项级数1nnu 和1nnv ，若0limlvunnn，那么这两个级数敛散性相同.（注：可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容） 另外，若0l，则当级数1nnv 收敛时，级数1nnu 亦收敛；若l，则当级数1nnu 发散时，级数1nnv 亦发散. 常用度量： ①等比级数：0nnq，当1q时收敛，当1q时发散； ②p-级数：11npn，当1p时收敛，当1p时发散(1p时称调和级数)； ③广义 p-级数：2ln1npnn，当1p时收敛，当1p时发散. ④交错 p-级数：11 1)1(npnn，当1p时绝对收敛，当10 p时条件收敛. （4）达朗贝尔判别法的极限形式（商值法）：对于正项级数1nnu ，当1lim1ruunnn时级数1nnu 收敛；当1lim1ruunnn时级数 1nnu 发散；当1r或1r时需进一步判断. （5）柯西判别法的极限形式（根值法）：对于正项级数1nnu ，设nnnur lim，那么1r时此级数必为收敛，1r时发散，而当1r时需进一步判断. （6）柯西积分...