无穷级数知识点汇总 一、数项级数 (一)数项级数的基本性质 1.收敛的必要条件:收敛级数的一般项必趋于 0. 2.收敛的充要条件(柯西收敛原理):对任意给定的正数 ,总存在 N 使得对于任何两个 N大于的正整数m 和 n,总有nmSS.(即部分和数列收敛) 3.收敛级数具有线性性(即收敛级数进行线性运算得到的级数仍然收敛),而一个收敛级数和一个发散级数的和与差必发散. 4.对收敛级数的项任意加括号所成级数仍然收敛,且其和不变. 5.在一个数项级数内去掉或添上有限项不会影响敛散性. (二)数项级数的性质及敛散性判断 1.正项级数的敛散性判断方法 (1)正项级数基本定理:如果正项级数的部分和数列有上界,则正项级数收敛. (2)比较判别法(放缩法):若两个正项级数1nnu 和1nnv 之间自某项以后成立着关系:存在常数0c,使),2,1(ncvunn,那么 (i)当级数1nnv 收敛时,级数1nnu 亦收敛; (ii)当级数1nnu 发散时,级数1nnv 亦发散. 推论:设两个正项级数1nnu 和1nnv ,且自某项以后有nnnnvvuu11 ,那么 (i)当级数1nnv 收敛时,级数1nnu 亦收敛; (ii)当级数1nnu 发散时,级数1nnv 亦发散. (3)比较判别法的极限形式(比阶法):给定两个正项级数1nnu 和1nnv ,若0limlvunnn,那么这两个级数敛散性相同.(注:可以利用无穷小阶的理论和等价无穷小的内容) 另外,若0l,则当级数1nnv 收敛时,级数1nnu 亦收敛;若l,则当级数1nnu 发散时,级数1nnv 亦发散. 常用度量: ①等比级数:0nnq,当1q时收敛,当1q时发散; ②p-级数:11npn,当1p时收敛,当1p时发散(1p时称调和级数); ③广义 p-级数:2ln1npnn,当1p时收敛,当1p时发散. ④交错 p-级数:11 1)1(npnn,当1p时绝对收敛,当10 p时条件收敛. (4)达朗贝尔判别法的极限形式(商值法):对于正项级数1nnu ,当1lim1ruunnn时级数1nnu 收敛;当1lim1ruunnn时级数 1nnu 发散;当1r或1r时需进一步判断. (5)柯西判别法的极限形式(根值法):对于正项级数1nnu ,设nnnur lim,那么1r时此级数必为收敛,1r时发散,而当1r时需进一步判断. (6)柯西积分...