时间序列分析方法第04章预测VIP专享

时间序列分析方法讲义 第4 章 预测 1 第四章 预 测 在本章当中我们讨论预测的一般概念和方法，然后分析利用),(qpARMA模型进行预测的问题。 §4.1 预期原理 利用各种条件对某个变量下一个时点或者时间阶段内取值的判断是预测的重要情形。为此，需要了解如何确定预测值和度量预测的精度。 4.1.1 基于条件预期的预测 假设我们可以观察到一组随机变量tX 的样本值，然后利用这些数据预测随机变量1tY的值。特别地，一个最为简单的情形就是利用tY 的前 m 个样本值预测1tY，此时tX 可以描述为： },,,{11mttttYYYX 假设*|1 ttY表示根据tX 对于1tY做出的预测。那么如何度量预测效果呢？通常情况下，我们利用损失函数来度量预测效果的优劣。假设预测值与真实值之间的偏离作为损失，则简单的二次损失函数可以表示为(该度量也称为预测的均方误差)： 2*|11*|1)()(tttttYYEYMSE 定理 4.1 使得预测均方误差达到最小的预测是给定tX 时，对1tY的条件数学期望，即： )|(1*|1ttttXYEY 证明：假设基于tX 对1tY的任意预测值为： )(*|1tttXgY 则此预测的均方误差为： 21*|1)]([)(ttttXgYEYMSE 对上式均方误差进行分解，可以得到： )]}()|()][|({[2)]()|([)]|([)]}()|([)]|({[)(111212112111*|1ttttttttttttttttttttXgXYEXYEYEXgXYEXYEYEXgXYEXYEYEYMSE 其中交叉项的数学期望为(利用数学期望的叠代法则)： 0)]}()|()][|({[111ttttttXgXYEXYEYE 因此均方误差为： 21211*|1)]()|([)]|([)(ttttttttXgXYEXYEYEYMSE 为了使得均方误差达到最小，则有： )|()(1tttXYEXg 此时最优预测的均方误差为： 211*|1)]|([)(tttttXYEYEYMSE End 我们以后经常使用条件数学期望作为随机变量的预测值。 4.1.2 基于线性投影的预测 由于上述条件数学期望比较难以确定，因此将预测函数的范围限制在线性函数当中，我们考虑下述线性预测： tttXY*|1 如此预测的选取是所有预测变量的线性组合，预测的优劣则体现在系数向量的选择上。 时间序列分析方法讲义 第4 章 预测 2 定义4.1 如果我们可以求出一个系数向量值 ，使得预测误差)(1ttXY与tX 不相关： 0])[(1tttXXYE 则称预测tX为1tY基于tX 的线性投影。 定理 4.2 在所有线性预测当中，线性投影预测具有...