曲线与曲面积分习题参考答案

十 曲线积分与曲面积分习题 (一) 对弧长的曲线积分 1. 计算dsyxL)(22，其中L 为圆周taytaxsin,cos )20( t. 解 32032222202222222cossin)sincos()(adtadttatatatadsyxL. 2. 计算dsxL，其中L 为由直线xy 及抛物线2xy 所围成的区域的整个边界. 解 )12655(12141210210dxxxdxxdsxL. 3．计算Lyds ,其中L 是抛物线xy42 上从)0,0(O到)2,1(A的一段弧. 解 Ly d s＝dyyydyyy202202421)2(1 )122(34)4(4412202 ydy. 4．计算Ldsyx)(，其中L 为从点)0,0(O到)1,1(A的直线段. 解 Ldsyx)(＝23211)(10xx. 5．计算Lxyzds ，其中L 是曲线2321,232,tztytx)10( t的一段. 解 Lx y z d s＝103102223)1(232)2(121232dttttdtttttt ＝143216. 6． 计算22xyLeds， 其中L 为圆周222xya,直线yx及 x 轴在第一象限所围成的扇形的整个边界. 解22xyLeds＝ 1L＋ 2L＋ 3L ＝dxedttataedxeaxaax0240222220201)sin()cos(11 ＝(2) 14aea 7．设在xoy 面内有一分布着质量的曲线 L ,在点,x y 处它的线密度为 ,x y,试用对弧长的曲线积分分别表达 (1)这条曲线弧对 x 轴, y 轴的转动惯量,xyII ； (2) 这条曲线弧的质心坐标 ,x y . 解 （1）LxdSyI2 LydSxI2 （2）LLdSyxdSyxxx),(),( LLdSyxdSyxyy),(),( (二) 对坐标的曲线积分 1．计算Lxdyydx，其中 L 为圆周tRytRxsin,cos上对应t 从0 到 2的一段弧. 解 Lx d yy d x＝0]coscos)sin(sin[20dtttRRtRtR 2．计算Lydxxdy，其中 L 分别为 （1）沿抛物线22xy 从)0,0(O到)2,1(B的一段； （2）沿从)0,0(O到)2,1(B的直线段.； （3）沿封闭曲线OABO ，其中)0,1(A,)2,1(B. 解 （1）1022)24(dxxxxI. （2）2)22(10 dxxxI. （3）Lydxxdy＝BOABOA ＝20010(22 )0dyxx dx. 3．计算Ldzyxzdyxdx)1(，其中  是从点)1,1,1(到点)4,3,2(的一段直线. 解 直线方程为 312111zyx，其参数方程为13,12,1tztytx，t 从 0 变到 1. 13])13(3)12(2)1[(10 dttttI. 4．计算2()Lxydxxy d...