曲线积分与曲面积分(解题方法归纳)

1 / 13 第十一章解题方法归纳 一、曲线积分与曲面积分的计算方法 1.曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下： (1 ) 利用性质计算曲线积分和曲面积分. (2 ) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分 (3 ) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分. (4 ) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分. (5 ) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分. (6 ) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分. 2. 在具体计算时，常用到如下一些结论： （1 ）若积分曲线 L 关于 y 轴对称，则 10 ( , )2( , )LLfxf x y dsf x y dsfx 对 为奇函数对 为偶函数 10 ( , )2( , )LLPxP x y dxP x y dyPx 对 为奇函数对 为偶函数 10 ( , )2( , )LLQxQ x y dyQ x y dyQx 对 为偶函数对 为奇函数 其中1L 是 L 在右半平面部分. 若积分曲线 L 关于 x 轴对称，则 10 ( , )2( , )LLfyf x y dsf x y dsfy 对 为奇函数对 为偶函数 10 ( , )2( , )LLPyP x y dxP x y dyPy 对 为偶函数对 为奇函数 10 ( , )2( , )LLQyQ x y dyQ x y dyQy 对 为奇函数对 为偶函数 其中1L 是 L 在上半平面部分. （2 ）若空间积分曲线 L 关于平面yx 对称，则 ( )( )LLf x dsf y ds . 2 / 13 （3）若积分曲面 关于xOy 面对称，则 10 ( , , )2( , , )fzf x y z dSR x y z dSfz 对为奇函数对为偶函数 10 ( , , )2( , , )RzR x y z dxdyR x y z dxdyRz 对为偶函数对为奇函数 其中1 是 在xOy 面上方部分. 若积分曲面 关于yOz 面对称，则 10 ( , , )2( , , )fxf x y z dSR x y z dSfx 对为奇函数对为偶函数 10 ( , , )2( , , )PxP x y z dydzP x y z dydzPx 对为偶函数对为奇函数 其中1 是 在yOz 面前方部分. 若积分曲面 关于zOx 面对称，则 10 ( , , )2( , , )fyf x y z dSR x y z dSfy 对为奇函数对为偶函数 10 ( , , )2( , , )QyQ x y z dzdxQ x y z dzdxQy...