1 1 最值系列之瓜豆原理 在辅助圆问题中，我们了解了求关于动点最值问题的方式之一——求出动点轨迹，即可求出关于动点的最值． 本文继续讨论另一类动点引发的最值问题，在此类题目中，题目或许先描述的是动点P，但最终问题问的可以是另一点Q，当然P、Q 之间存在某种联系，从P 点出发探讨Q 点运动轨迹并求出最值，为常规思路． 一、轨迹之圆篇 引例1：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，Q 为AP 中点． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？ AOPQ 【分析】观察动图可知点Q 轨迹是个圆，而我们还需确定的是此圆与圆O 有什么关系？ 考虑到Q 点始终为AP 中点，连接AO，取AO 中点M，则M 点即为Q 点轨迹圆圆心，半径MQ 是OP 一半，任意时刻，均有△AMQ∽△AOP，QM:PO= AQ:AP= 1:2． QPOAM 【小结】确定Q 点轨迹圆即确定其圆心与半径， 由 A、Q、P 始终共线可得：A、M、O 三点共线， 由 Q 为AP 中点可得：AM= 1/2AO． Q 点轨迹相当于是P 点轨迹成比例缩放． 根据动点之间的相对位置关系分析圆心的相对位置关系； 根据动点之间的数量关系分析轨迹圆半径数量关系． 2 2 引例2：如图，P 是圆O 上一个动点，A 为定点，连接AP，作AQ⊥AP 且AQ=AP． 考虑：当点P 在圆O 上运动时，Q 点轨迹是？ OPQA 【分析】Q 点轨迹是个圆，可理解为将AP 绕点A 逆时针旋转90°得AQ，故Q 点轨迹与P点轨迹都是圆．接下来确定圆心与半径． 考虑AP⊥AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM⊥AO； 考虑AP=AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM=AO，且可得半径MQ=PO． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO≌△AQM． MAQPO 引例3：如图，△APQ 是直角三角形，∠PAQ=90°且AP=2AQ，当P 在圆O 运动时，Q 点轨迹是？ OPQA 【分析】考虑AP⊥AQ，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AM⊥AO； 考虑AP:AQ=2:1，可得Q 点轨迹圆圆心M 满足AO:AM=2:1． 即可确定圆M 位置，任意时刻均有△APO∽△AQM，且相似比为2． 3 3 OPQMA 【模型总结】 为了便于区分动点P、Q，可称点P 为“主动点”，点Q 为“从动点”． 此类问题的必要条件：两个定量 主动点、从动点与定点连线的夹角是定量（∠PAQ 是定值）； 主动点、从动点到定点的距离之比是定量（AP:AQ 是定值）． αAQPOααOPQMA 【结论】（1）主、从动点与定点连线的夹角等于两圆心与定点连线的夹角： ∠PAQ= ∠OAM； （2）主、从动点与定点的...
