最全大学高等数学函数、极限和连续

第一章 函数、极限和连续 §1.1 函数 一、 主要内容 ㈠ 函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: 21)()(DxxgDxxfy 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f-1(y) y=f-1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的； 则它必定存在反函数： y=f-1(x), D(f-1)=Y, Z(f-1)=X 且也是严格单调增加(或减少)的。 ㈡ 函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x∈D,x1、x2∈D 当 x1＜x2时,若 f(x1)≤f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调增加( )； 若 f(x1)≥f(x2), 则称 f(x)在 D 内单调减少( )； 若 f(x1)＜f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调增加( )； 若 f(x1)＞f(x2), 则称 f(x)在 D 内严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称 偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性： 周期函数：f(x+T)=f(x), x∈(-∞，+∞) 周期：T——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x∈(a,b) ㈢ 基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=xn , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a＞0、a≠1) 4.对数函数： y=loga x ,(a＞0、a≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x y=sec x , y=csc x 6.反三角函数：y=arcsin x, y=arccon x y=arctan x, y=arccot x ㈣ 复合函数和初等函数 1.复合函数： y=f(u) , u=φ(x) y=f[φ(x)] , x∈X 2.初等函数: 由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数 §1.2 极 限 一、 主要内容 ㈠极限的概念 1 . 数列的极限: Aynnlim 称数列 ny以常数A 为极限; 或称数列 ny收敛于 A. 定理: 若 ny的极限存在  ny必定有界. 2.函数的极限： ⑴当x时，)(xf的极限： AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim ⑵当0xx 时，)(xf的极限： Axfxx)(lim0 左极限：Axfxx)(lim0 右极限：Axfxx)(lim0 ⑶函数极限存的充要条件： 定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000 ㈡无穷大量和无穷小量 1． 无穷大量：)(limxf 称在该变化过程中 )(xf为无穷大量。 X 再某个变化过程是指：...